하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 돌 줍기 게임
오늘은 한 무더기 바둑돌을 준비하여 옆에 있는 동생과 함께 재밌고 간단한 게임을 해보자.
게임 규칙
1.갑부터 시작하여 갑과 을이 번갈아 가며 돌을 한 개 이상 가져간다. 2.차례가 되어 돌을 가져올 때는 방금 전에 상대방이 집어간 돌 개수의 두 배 이하로 가져와야 한다. 3.마지막 돌을 집어간 사람이 승리한다. 4.맨 처음 시작하는 사람은 돌을 다 집어갈 수 없다.
간단한 게임이지만 잘 생각하고 분석하면 승률을 높일 수 있을 것이다. 필승의 전략을 찾아내기 위해 적은 개수의 돌멩이를 이용하여 분석해보자.
(1) 돌멩이가 1개이면 게임 자체가 성립하지 않는다. (2) 2개인 경우 무조건 을이 이긴다. (3) 3개인 경우도 져 주기로 작정하지 않은 이상 을이 이긴다. (4) 4개인 경우에는 갑이 처음에 1개를 집어 3개를 남겨놓으면 갑이 이긴다. (5) 5개인 경우 갑은 두 개 이상 집으면 바로 패하므로 무조건 한 개만 집어야 한다. 하지만 이 경우 을이 한 개를 집으면 그 뒤로는 외길 수순이 되어 을이 이기게 된다. (6) 6개인 경우 역시 갑은 처음에 2개 이상을 집지 못한다. 한 개만 집어야 하므로 5개가 남게 되는데 위에서 갑과 을이 바뀐 경우이다. 즉 승자는 갑이다. (7) 7개인 경우 갑이 한 개를 집는다면 여섯 개가 남아 바로 위에서 살펴보았듯이 을이 이기게 된다. 이때, 2개를 집으면 5개가 남게 되고 위에서 살펴보았듯이 갑이 이길 수 있다. (8) 8개인 경우 갑이 3개 이상을 집으면 곧바로 지게 되므로 1개나 2개를 집어야 하는데 앞서 두 경우를 뒤집어 생각하면 최선의 대응을 할 경우 승자가 을임을 알 수 있다.
여기서 잠깐! 처음 돌멩이의 개수가 2, 3, 5, 8개인 경우 최선의 전략을 세우면 B가 이긴다는 것을 알 수 있다. 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… 해법은 바로 ‘피보나치 수열’ 안에 있다. 상대방에게 피보나치수에 해당하는 바둑돌을 남겨줄 수만 있다면 게임에서 이길 수 있다.
예를 들어 12개의 바둑돌을 가지고 게임을 시작했다고 하자. 처음에 갑이 몇 개의 돌을 집어가야 게임에서 이길 수 있을까? 12보다 작은 피보나치 수는 8이므로 을에게 8개를 남기게 되면 갑이 이길 수 있다. 그런데 처음부터 4개를 집어오면 오히려 게임에서 바로 지게 되므로 12개와 8개의 차에 해당하는 4개짜리 게임에서 우선 이겨 상대방에게 8개를 남겨놓으면 갑이 반드시 이기게 된다. 그럼 20개로 시작했다면 갑은 처음에 몇 개를 가져와야 할까? 상대방에게 13개를 남겨주어야 하므로 우선은 20개와 13개의 차에 해당하는 7개짜리 게임을 진행한다고 생각하면 된다. 위에서 살펴보았듯이 갑은 처음에 2개를 집어오면 된다. 이제 비법을 터득했는가? 그렇다면 엄마 아빠에게 내기를 신청해보는 것도 괜찮을 것 같다. 참으로 피보나치수열이 품고 있는 매력은 그 끝을 가늠하기 힘들다.
조계성
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
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