복리의 가치를 알려주는 그림. 게티이미지
만약 1년 뒤부터 매년 무한하게 연금을 지급받게 된다면 이 연금의 가치는 얼마나 될까? 이는 ‘무한히 지급받게 될 연금을 지금 당장 일시불로 받는다면 얼마를 받을 수 있겠는가’와 동일한 질문이다. 그리고 이 질문에 대한 답은 “물가(금리)에 따라 다르다”이다. 물가가 거의 오르지 않는 사회에서라면 말 그대로 무한한 가치를 갖는 연금이 될 것이다. 하지만 살인적인 인플레이션을 겪는 저개발 국가라면 무한연금의 현재가치는 휴짓조각에 지나지 않을 것이다. 이와 관련된 수리논술 문항을 살펴보자.
<제시문> 오늘 은행의 예금계좌에 현금을 입금하면 1년 뒤에 입금한 금액의 5%를 이자로 받을 수 있다고 하자. 예컨대 오늘 100만원을 이 계좌에 입금을 하면 1년 뒤에는 100만원×5%=5만원의 이자와 원금 100만원을 합하여 105만원의 돈을 가지게 된다. 이 때 1년 후에 받게 될 105만원을 오늘 입금하는 100만원의 미래가치라고 생각할 수 있다.
반대로 오늘 입금하는 100만원은 1년 후에 가지게 되는 105만원의 현재가치라 한다. 정리를 하면, 105만원=100만원+100만원×5%=100만원×(1+0.05)이고,100만원=105만원/(1+0.05)이다. 일반적으로 1년 이자율을 r 이라고 하면, 1년 후에 받게 될 C원의 현재가치는 C/1+r 로 계산 할 수 있다.
그러면 은행에 예금을 하고 2년을 기다리면 어떻게 될까? 위의 예에서 우선 1년 뒤에 원금 100만원과 이자 5만원이 예금계좌에 기록이 된다. 이 105만원을 원금으로 다시 2년 뒤에는 105만원에 대한 5% 이자가 발생하게 된다. 따라서 2년 후에 가지게 되는 금액은 105만원×(1+0.05)=100만원×(1+0.05)²이 된다. 이를 이자가 다시 이자를 낳는다고 하여 복리라고 한다. <한양대 수시기출>
<논제> (1) 은행에 입금을 하면 매년 4%의 비율로 이자를 받는다고 하자. 2년 후에 내가 필요한 금액이 400만원이라면 오늘 얼마를 예금을 하면 정확히 2년 후에 400만원을 만들 수 있을까?
(2) 1년 후부터 매년 C만큼의 현금을 영원히 받을 수 있는 연금이 있다. 매년 이자율이 r 일 때 이 연금의 현재가치는? 단, C와 r은 양수이다.
(3) 1년 후에는 C원, 2년 후에는 C(1+g)원, 3년 후에는 C(1+g)² , … 이렇게 영원히 지급되는 현금이 (1+g)의 비율로 매년 증가하는 연금이 있다. 매년 이자율이 r일 때 이 연금의 현재가치는? 단, C,r,g는 모두 양수이다.
(4) 이번에는 C 만큼의 현금을 n년 동안 받을 수 있는 연금을 생각하자. 매년 이자율이 r일 때 이 연금의 현재가치는? 단, C와 r은 양수이다. (힌트: 문제(2)의 결과를 이용하여 간단히 보일 수도 있다.)
<논제분석>
이 문제의 핵심 포인트는 현재가치의 개념을 수학적으로 정확하게 숙지하는 것이다. 만일 100만원을 누군가에게 빌려주고 1년 후에 돌려받을 때 얼마를 돌려받아야 할까? 그 해답을 알기 위해서는 똑같은 금리를 적용하는 은행에 100만원을 예금하고 1년 후에 얼마를 찾을 수 있을지를 보면 된다. 마찬가지로 지금 얼마를 예금하면 1년 후에 100만원이 될까? 이 질문에 대한 답이 바로 ‘현재가치’이다.
즉, x(1+r)=100에서 x=100/1+r 이 1년 후의 100만원에 대한 현재가치이다. 마찬가지로 100/(1+r)²은 2년 후의 100만원에 대한 현재가치이다. 다시 말해서 ‘지금 얼마를 예금하면 2년 후에 100만원이 될까’와 같은 말이다. 매년 500만원 씩 10회에 걸쳐 연금을 지급받기로 할 때 이 연금을 지금 일시불로 받아간다면 얼마를 받아야 할지를 계산할 때도 똑같은 원리에 의해 매 년 지급받는 500만원의 현재가치를 계산하여 더한 것이 이 연금의 현재가치 즉 ‘연금의 현가’이다.
위의 원리에 의해
의 결과값이 연금의 현재가치가 된다.
<논제 예시답안> (1) 2년 후에 받게 될 400만원의 현재가치에 해당하는 금액을 오늘 예금하면 되므로 제시문에 의해 C/(1+r)²=400/1.04²≒370(만원)이 된다.
(2) 매년 받게 되는 연금의 현재가치는 차례로 C/1+r, C/(1+r)², … 이 된다. 또 r이 양수이므로 0< 1/1+r <1이고 따라서 무한등비급수의 합은 C/(1+r) ÷ 1-1/(1+r) = C/r이 되므로 무한연금의 현재가치는 C/r이다.
(3) 매년 받을 연금이 1년 후부터 차례로 C, C(1+g), C(1+g)², … 이므로 연금에 대한 현재가치는 C/1+r , C(1+g)/(1+r)², C(1+g)²/(1+r)³, … 이 된다. 이 때 공비는 1+g / 1+r 이고 r, g는 양수이므로 r>g 일 때는 0 < 1+g / 1+r < 1로 수렴조건에 해당하며 등비급수의 합의 공식에 의해 계산하면 그 값은 C/(r-g)이 되고, r≤g 일 때는 1+g/1+r ≥ 1 이므로 등비급수는 발산한다.
(4) 매년 받게 되는 연금 C에 대한 현재가치는 차례대로 C/1+r , C/(1+r)² , … , C/(1+r)ⁿ이다.
공비가 1/1+r 이므로 등비수열의 합의 공식에 의해 계산하면 그 값은 C/r ×〔1-(1/1+r)ⁿ〕이 된다. 문제 (2)의 결과를 이용하여 결론을 도출할 수도 있다.
(2)의 결과에 의해 등비급수의 합은 C/r이다. 이 때 n+1 년 후부터 받게 되는 연금의 무한연금의 가치를 생각하면 급수의 합의 공식에 의해 그 결과값은 C/r × (1/1+r)ⁿ이므로 이 두 값의 차이가 n년 동안의 등비수열의 합과 같으므로 C/r –C/r ×(1/1+r)ⁿ=C/r × 〔1-(1/1+r)ⁿ〕에 의해 같은 결론을 얻을 수 있다.
최준원 분당 미래탐구 수리논술연구소장
