하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 한 바구니에 담긴 계란은 위험해!
계란을 한 바구니에 담으면 어떻게 될까요. 바구니가 잘 관리되면 탈이 없겠지만 의도하지 않게 바구니를 떨어뜨리는 불상사가 생기면 바구니 안의 계란이 한꺼번에 깨져버릴 것입니다. 반면 계란을 여러 바구니에 나눠 담으면 그 중 바구니 하나를 떨어뜨려도 나머지 바구니 안에 들어있던 계란은 무사하겠지요. 이처럼 여러분이 가지고 있는 자산(계란)을 한 종목에 몰아서 투자하지 말고 만약을 대비해 여러 종목에 ‘분산하여 투자’하면 큰 손실을 막을 수 있습니다.
분산투자에는 순서가 있는데 일단 예금과 같은 안전자산에 얼마를 투자하고 주식과 채권, 펀드와 같은 위험자산에 얼마를 투자할지 정해야 합니다. 만약 여러분이 원금이 없어질까 두려워하거나, 돈이 급하게 필요하게 될 것 같다면 안전자산에 더 큰 비중을 두어야 할 것입니다. 반대로 위험을 감수하고라도 큰 수익을 기대하거나 돈이 당분간 필요 없다면 위험자산에 더 많이 투자할 수 있겠지요. 이처럼 계란을 여러 종류의 바구니에 나누어 담는 일은 고민과 노력이 필요한 일이지만 위기 상황에서 큰 손실을 막아줄 수 있는 투자의 기본원칙입니다.
이처럼 투자의 기본원칙인 분산투자에 관한 개념은 대학입학 수리논술의 소재로도 자주 활용됩니다. 다음 문제를 통해 분산투자의 방법이 구체적으로 얼마나 위험을 감소시켜 주는지 수리적으로 접근해보도록 합시다.
주식 투자에서 “계란을 한 바구니에 담지 말라”는 유명한 격언이 있다. 이 말은 주식 투자를 할 때, 한 곳에 집중 투자를 할 경우 그 주가가 떨어지면 모든 돈을 잃을 수 있기 때문에 여러 곳에 분산투자를 하라는 것이다. 다음의 문제에 답하여라.
논제 : 계란 4개와 바구니 3개가 있고, 각각의 바구니를 떨어뜨릴 확률이 1/2이라고 가정하자. 이때 계란을 어떻게 나누어 담는 것이 과연 위험을 줄일 수 있는지 기댓값과 분산을 계산하여 설명하시오.
<해설>
(1) 계란을 하나의 바구니에 모두 담을 경우 (4+0+0 인 경우) : 남은 계란의 개수의 가능한 경우는 4개, 0개이므로 남은 계란의 개수의 기댓값은 (4×1/2)+(0 ×1/2)=2, 분산은 (4-2)²×1/2+(0-2)²×1/2=4이다.
(2) 계란 3개, 1개를 서로 다른 바구니에 나누어 담은 경우(3+1+0인 경우) : 남은 계란의 개수의 가능한 경우는 4개, 3개, 1개, 0개이므로 남은 계란의 개수의 기댓값은 (4×1/4)+(3×1/4)+(1×1/4)+(0×1/4)=2, 분산은 (4-2)²×1/4+(3-2)²×1/4+(1-2)²×1/4+(0-2)²×1/4=5/2
(3) 계란 2개, 2개를 서로 다른 바구니에 담는 경우(2+2+0인 경우) : 남은 계란의 개수의 가능한 경우는 4개, 2개, 0개이므로 남은 계란의 개수의 기댓값은 (4×1/4)+(2×1/2)+(0×1/4)=2, 분산은 (4-2)²×1/4+(2-2)²×1/2+(0-2)²×1/4=2
(4) 계란 2개, 1개, 1개를 서로 다른 바구니에 담는 경우(2+1+1경우) : 남은 계란의 개수의 가능한 경우는 4개, 3개, 2개, 1개, 0개이므로 남은 계란의 개수의 기댓값은 (4×1/8)+ (3×1/4)+(2×1/4)+(1×1/4)+(0×1/8)=2, 분산은 (4-2)²×1/8+(3-2)²×1/4+(2-2)²×1/4+(1-2)²×1/4+(0-2)²×1/8=3/2 이다. 따라서 계란을 3개의 바구니에 2개, 1개, 1개 나누어서 담는 경우가 같은 기댓값에 대하여 더 작은 분산을 갖게 되기 때문에 위험을 줄일 수 있다.
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
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