고교 과정에서는 극한의 기본 성질 등과 같이 직관적으로 이해할 수 있지만 필요 이상의 엄밀한 증명을 요구하는 경우 이를 증명 없이 받아들일 때가 많다. 오늘 다룰 주제인 치환적분법도 엄밀한 증명을 생략하고 결과적인 결론을 기술적으로 풀이에 적용하게 되는 대표적 유형 가운데 하나다. 치환적분법은 합성함수 미분법의 역연산으로 정의되며, 하나의 함수를 각각 다른 변수로 적분해 두 적분 결과를 비교하여 ‘형식적’으로 얻은 방법이다. 이 경우에 엄밀한 증명은 생략하더라도 왜 이렇게 사용해도 되는지에 대한 기본적 이해는 필요하다. 이렇게 기본에 충실한 이해를 바탕으로 이를 실전에 적용할 때 보다 확실하고 정확한 풀이를 해낼 수 있다. 아래 본문을 통해 치환적분법의 기초를 확실하게 익혀보도록 하자.
▶치환적분법에 대한 올바른 이해와 문제해결 전략◀
1. 적분의 기본 원리를 잊지 말 것.
: F′(x)=f(x) ⇔ F(x)=∫f(x) dx (적분상수 생략)
: d★/d▲ = ■ ⇔ ★=∫d▲
2. dt/dx 는 결과적으로 dt÷dx와 같다(고 생각해도 무방하다)
: dt/dx=g′(x) ⇔ g′(x)dx=dt
3. x=g(t) ⇒ F(x)=∫f(x) dx = ∫f(g(t)g′(t)dt
: 원리도 이해하고 기술적으로도 익숙해져야 함.
