만일 누군가 위의 급수에 대해 ‘짝수 항까지만 더하면 1-1+1-1+ … +1-1=0이고, 홀수 항까지만 더하면 1-1+1-1+ … +1=1이므로 이 급수의 값은 두 합의 평균인 0.5다’라고 주장한다면 어떨까? 이렇게 무한과 관련해 오개념이나 혼란을 경험하게 되는 이유는, 유한에서 성립하는 연산법칙(결합법칙)을 무한에 적용했기 때문이다. 실제로 극한의 개념이 정립되기 전에는 수학자들 사이에서도 이렇게 급수의 수렴, 발산과 관련해 논란이 있었음을 알 수 있다. 수리논술에서도 급수의 수렴 판단에 대한 논리적 추론 문제가 자주 출제되므로 미적분에서 배운 급수의 개념을 올바르게 적용해 문제를 해결하자.
포인트
급수에서 덧셈기호 + 는 형식적인 기호임을 유의한다. 즉, 유한개의 합에서 성립하는 연산법칙을 적용할 수 없다.
예를 들어, S=1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+ …
-S=(-1)+1+(-1)+1+(-1)+ …
두 식을 빼면 2S=1이므로 S=0.5
또는 결합법칙을 적용하면 1+(-1)}+1+(-1)}+1+(-1)}+ … =0
1+1+(-1)}+1+(-1)}+1+(-1)}+ … =1
이처럼 모순적인 결과를 얻은 이유는 유한에서 성립하는 성질을 무한에서 무리하게 사용했기 때문이다.
