지난 생글생글 905호에서 우리는 오일러 수(Euler number)에 대해 알아보았습니다. 꼭짓점(V) - 모서리(E) + 면(F) 이라는 단순한 계산이 모든 다면체의 고유한 특성을 드러낸다는 사실은 우리를 놀라게 했습니다. 하지만 이 식은 단순한 규칙을 넘어 도형에 훨씬 더 깊은 개념까지 포착할 수 있습니다. 오늘은 이 오일러 수가 더 깊은 수학 분야인 위상수학으로 어떻게 확장되었는지를 살펴보고자 합니다.
우리 주변에서 흔히 볼 수 있는 정삼각뿔(그림 1)과 오각뿔(그림 2)은 겉모습은 다르지만, 오일러 수를 계산하면 모두 2가 나옵니다. 정삼각뿔의 경우 꼭짓점 4개에서 모서리 6개를 빼고 면 4개를 더하면 4 - 6 + 4 = 2가 되고, 오각뿔 역시 6 - 10 + 6 = 2가 됩니다. 이는 이 도형들이 모두 ‘구멍이 없는’ 물체라는 다면체이기 때문입니다.
하지만 만약 도형에 ‘구멍이 생긴다면’ 어떻게 될까요? 마인크래프트 게임처럼 블록을 파낸 듯한 도형(그림 3)을 예로 들어보겠습니다. 이 복잡해 보이는 도형의 오일러 수를 계산하면 0이 됩니다. 아래 표를 보시면 이 놀라운 결과를 한눈에 확인할 수 있습니다.
평면에서 점 3개와 변 3개로 이루어진 모든 도형을 삼각형으로, 점 4개와 변 4개로 이루어진 모든 도형을 사각형으로 분류하려는 시도가 있었습니다. 수학자들은 이 아이디어를 3차원으로 확장하여 “오일러 수가 2인 모든 입체를 하나의 그룹으로, 오일러 수가 0인 모든 입체를 또 다른 그룹으로 분류할 수 있지 않을까?”라는 생각을 하였습니다.
구의 표면이든, 정육면체든, 피라미드든 오일러 수가 2라면 모두 같은 형태를 지녔다고 하는 것입니다. 도넛이나 커피잔 손잡이처럼 구멍이 하나 있는 물체의 오일러 수는 모두 0입니다. 크기나 모양은 전혀 달라도 구멍의 개수라는 본질적 특성이 같다면 수학적으로 동일한 존재로 보는 것입니다. 이것이 바로 위상수학(topology)의 출발점이었습니다.
위상수학에서 가장 중요한 개념은 연속적 변형입니다. 물체를 찢거나 붙이지 않고 단순히 늘리고, 구부리고, 비트는 것만으로는 그 물체의 본질적 성질이 바뀌지 않는다는 것입니다. 예를 들어 점토로 만든 구를 눌러서 타원으로 만들거나, 한쪽을 늘려 럭비공 모양으로 바꿔도 여전히 구멍이 없는 물체입니다. 아무리 변형해도 오일러 수는 2를 유지합니다. 이러한 관점에서 보면 구와 정육면체는 같은 도형이고, 도넛과 커피잔도 같은 도형입니다. 수학자들은 이렇게 연속적으로 변형 가능한 도형들을 위상동등(homeomorphic)하다고 말합니다. 더 놀라운 것은 구멍이 2개인 물체들입니다. 프레첼이나 손잡이가 2개 달린 컵 등은 모두 오일러 수가 -2가 됩니다. 구멍이 3개면 -4, 4개면 -6이 됩니다. 구멍의 개수가 곧 그 물체의 위상적 정체성을 결정하는 것입니다.
위상수학은 모양이 아닌 본질에 주목하는 학문입니다. 이 혁신적인 사고방식은 20세기 수학의 흐름을 완전히 바꿔놓았으며 푸앵카레 추측 같은 난제들을 해결하는 토대가 되었습니다. 2003년 러시아 수학자 페렐만이 이 추측을 증명하면서 100년 동안 미해결이던 위상수학의 핵심 문제가 드디어 해결되었습니다. 위상수학은 순수수학뿐 아니라 생물학에서 DNA의 꼬임 분석, 물리학에서 위상 물질 연구, 최근에는 AI와 데이터 과학에서 고차원 데이터 구조 분석에까지 활용되고 있습니다.
정육면체와 도넛을 같은 눈으로 바라보는 상상력—그것이 위상수학의 힘입니다. 겉으로 드러난 모양보다 본질적인 구조에 주목하는 이 수학의 관점은, 세상의 복잡한 문제들을 더 깊이 이해하는 강력한 열쇠가 되었습니다.
