지난 생글생글 895호, 897호의 ‘재미있는 수학’에서는 이차곡선 중 타원, 포물선과 빛의 성질에 대해 살펴보았습니다. 이번에는 쌍곡선에 대해 알아보겠습니다.
쌍곡선은 평면 위의 서로 다른 두 점 F, F′에서의 거리의 차가 일정한 점들의 집합이고, 두 점 F, F′을 쌍곡선의 ‘초점’이라고 합니다. 쌍곡선의 두 초점 F, F′을 잇는 직선이 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 A, A′이라고 할 때, 선분 AA′을 쌍곡선의 ‘주축’이라고 합니다.
이러한 쌍곡선의 정의를 이용하면 항해 중인 배의 위치를 알아낼 수 있다고 합니다. 항해 중인 배의 위치를 찾을 때, 멀리 떨어져 있는 두 기지에서 동시에 전파를 보냅니다. 배는 보통 어느 한 기지에 더 가까이 있기 마련이므로, 두 기지에서 보낸 신호를 약간의 시차를 두고 받게 됩니다. 두 기지 A와 B에서 발신한 신호가 배에 도달하는 데 걸리는 시간을 각각 TA, TB 라 하고, 배의 위치를 P라 하면 다음 식이 성립합니다.
(단, c는 전파의 속력)
따라서 배는 두 점 A, B를 초점으로 하는 쌍곡선 위 어딘가에 있습니다. 배의 위치를 정확하게 알고 싶으면 서로 다른 세 지점으로부터 발신된 신호를 이용하면 됩니다. A 기지와 또 다른 한 기지인 C에서 전파를 보내 거리의 차를 구하면, 위와 마찬가지 방법으로 배가 위치하는 A와 C를 초점으로 하는 쌍곡선을 구할 수 있습니다. 그러면 A, B를 초점으로 하는 쌍곡선과 A, C를 초점으로 하는 쌍곡선의 교점을 구해 배의 정확한 위치를 파악할 수 있습니다.
지난 생글생글 897호의 ‘재미있는 수학’에서 다룬, 포물선과 빛의 성질을 이용한 파라볼라 안테나는 포물면의 중심에서 초점까지 거리가 멀어지므로 초점까지 긴 봉을 세워야 하는 불편함이 있습니다. 이러한 불편함과 대형 포물면이 전파의 방향에 따라 회전할 때 생기는 구조적 문제를 해결하기 위해 포물면 안테나 내부에 쌍곡면 반사기를 이용합니다.
쌍곡면은 쌍곡선을 주축의 둘레로 회전시켜 얻은 곡면입니다. [그림1]과 같이 포물면의 초점과 쌍곡면의 한 초점을 일치시키고, 짧은 수신용 봉의 끝을 쌍곡면의 또 다른 초점에 위치시키면 포물면의 축과 평행하게 들어온 전파는 포물면에 반사됩니다. 이때 포물면과 쌍곡면의 초점이 일치하므로 반사된 전파는 쌍곡면의 다른 초점인 수신용 봉의 끝에 모이게 됩니다. 이런 원리로 작동하는 안테나를 ‘카세그레인식 안테나’라고 합니다.
쌍곡면과 빛의 성질도 빛이 최단 경로로 진행한다는 페르마의 법칙과 입사각과 반사각이 같도록 반사된다는 반사의 법칙을 따릅니다. 쌍곡선의 한 초점에서 나온 빛은 쌍곡선에 반사된 후 다른 초점에서 나온 빛처럼 진행하는 빛의 경로에 관한 수학적 원리를 알아봅시다.
[그림2] 와 같이 직선 F′P 위에 점 S를, 직선 위에 점 T를 잡으면 직선 이 ∠FPF′의 이등분선이라는 가정과 맞꼭지각의 성질에 의하여 ∠FPT = ∠QPS 입니다.
이제 쌍곡선의 초점이 있는 안쪽 면을 거울로 두고 한 초점 F에 광원을 놓았다고 합시다. 그러면 입사각과 반사각의 성질에 의하여 초점 F′에서 나온 광선은 쌍곡선 거울에 반사한 뒤 다른 초점에서 나온 광선인 것처럼 퍼져나간다는 것을 알 수 있습니다.
