지난주 ‘2025년은 수학의 해(1)’에서 2025와 관련된 두 가지 수학 이야기를 말씀드렸습니다. 이번에는 2025와 관련된 또 다른 수학 이야기를 소개하려고 합니다.

452=2025인데, 45는 1부터 9까지 자연수의 합입니다. 그런데 1부터 9까지 자연수의 합의 제곱은 1부터 9까지 세제곱의 합과 같습니다.

즉 2025=(1+2+3+…+9)2=13+23+33+…+93입니다.

이 등식이 신기해서 SNS나 각종 수학 커뮤니티에 새해 인사 글로 많이 소개되었습니다. 그런데 이 등식은 처음 보는 것이 아니라 고등학교에서 배우는 수열의 ‘자연수의 거듭제곱의 합’ 내용입니다.

여기서,

이므로 13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2인 것입니다.

‘자연수의 거듭제곱의 합’에 대한 일반적 증명은 고등학교 수학Ⅰ의 수열 단원(2015 개정 교육과정 기준)에서 찾아볼 수 있지만 여기서는 이를 그림으로 증명해보려고 합니다.

다음 그림을 이용하면 13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2이 성립함을 알 수 있습니다.

한 모서리의 길이가 각각 1, 2, 3인 정육면체의 부피는 각각 13, 23, 33이므로 세 정육면체의 부피의 합은 13+23+33 (… ㉠)입니다.

세 정육면체를 밑면의 가로의 길이가 1인 직육면체 1개, 2인 직육면체 2개, 3인 직육면체 3개로 분해한 후 이 직육면체들로 만든 하나의 직육면체는 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 1+2+3, 1이고 높이가 1+2+3이므로 부피는 (1+2+3)2 (… ㉡)입니다.

㉠, ㉡에서 13+23+33=(1+2+3)2입니다.

같은 방법으로 한 모서리의 길이가 각각 1, 2, 3, …, n인 정육면체를 밑면의 가로의 길이가 1인 직육면체 1개, 2인 직육면체 2개, 3인 직육면체 3개, …, n인 직육면체 n개로 분해한 후 이 직육면체들로 하나의 직육면체를 만들면 다음과 같은 등식을 얻을 수 있습니다.

13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2

이 외에 다른 그림으로도 이 등식이 성립함을 증명할 수 있는데, 한 가지 더 소개하니 이것은 여러분들이 직접 해보시기 바랍니다.

주어진 등식을 그림으로 증명하는 과정을 보니 어떠한가요? 교과서의 증명보다 훨씬 쉽게 눈으로만 봐도 이 등식이 성립함을 증명할 수 있을 것입니다.