2025년 을사년 뱀띠의 해가 시작된 지 벌써 한 달이 지났습니다. 2025년은 수학과 관련이 많은 수학의 해인 것 같습니다. 2025년이 시작하자마자 SNS와 각종 수학 커뮤니티에서는 2025를 수학으로 이야기하는 글이 많이 올라왔는데, 2회에 걸쳐 이에 대한 이야기를 소개하려고 합니다.

2025는 452 = 2025이므로 어떤 정수의 제곱이 되는 정수, 즉 제곱수입니다. 442=1936, 462=2116이니까 어떻게 보면 2025년은 우리의 인생에서 하나밖에 없는 제곱수인 해일 수 있습니다.

2025는 신기한 수입니다. 2025를 절반으로 나누어 앞자리 수 20과 뒷자리 수 25를 생각합니다. 20과 25를 더하면 45가 되고, 이 45를 제곱하면 2025가 됩니다. 즉, 2025는 절반으로 나누어 더한 후 제곱하면 원래의 수가 됩니다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같습니다.

20+25=45, 452=2025

여기서 45와 같은 수를 ‘카프리카 수’라고 하는데, 일반적으로 어떤 수의 제곱수를 두 부분으로 나누어 더했을 때 다시 원래의 수가 되는 수를 인도의 수학자 카프리카(D. R. Kaprekar, 1905~1986)의 이름을 붙여 ‘카프리카 수’라고 합니다. 이 카프리카 수에는 다음과 같은 유래가 있습니다.

인도의 어느 지역에 있는 철도의 선로 옆에 “3025km”라고 적힌 이정표가 있었습니다. 그런데 어느 날 심한 폭풍우로 인해 이정표가 쓰러지면서 ‘3025’가 ‘30’, ‘25’와 같이 절반으로 나뉘게 되었습니다. 마침 이곳을 지나던 인도의 수학자 카프리카가 30+25=55이고, 552=3025라는 점을 발견했습니다. 그 후 사람들은 55와 같이 어떤 수의 제곱수를 두 부분으로 나누어 더했을 때 다시 원래의 수가 되는 수를 카프리카 수로 부르게 되었습니다.

카프리카 수 중에서 두 자리의 카프리카 수를 모두 구해보겠습니다.

n을 두 자리의 카프리카 수라 하고, 이를 제곱하면 네 자릿수 ‘xy’(x와 y는 두 자리 이하의 정수)가 된다고 합시다. 예를 들어 ‘2025’라면 x=20, y=25라는 뜻입니다.

n=x+y, n2=100x+y이므로 (x+y)2=100x+y입니다. 이 식을 전개하고, x에 관하여 정리하면 다음과 같습니다.

x2+2xy-100x+y2-y=x2+2(y-50)x+(y2-y)=0

근의 공식으로 해를 구하면 다음을 얻을 수 있습니다.

이때 x는 정수여야 하므로 2500-99y는 0보다 크거나 같아야 하고, 제곱수이어야 하는데, 이를 만족하는 y는 1과 25밖에 없습니다.

따라서 y가 1일 때의 x의 값은 0 또는 98이 되고, y가 25일 때의 x의 값은 20 또는 30이므로 네 자릿수 ‘xy’는 9801, 2025, 3025가 됩니다(0001은 네 자릿수가 아니므로 제외).

9801은 98+01=99, 992=9801, 2025는 20+25=45, 452=2025, 3025는 30+25=55, 552=3025이므로 두 자리의 카프리카 수 n은 45, 55, 99의 3개뿐임을 알 수 있습니다.

두 자리의 카프리카 수를 직접 구해봤는데, 이 외에 한 자리의 카프리카 수, 세 자리의 카프리카 수 등도 여러분이 직접 구해보시면 좋겠습니다.

처음 몇 개의 카프리카 수는 다음과 같습니다.

1, 9, 45, 55, 99, 297, 495, 703, 999, 2223, 2728, 3025, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, …

그런데 이 수들을 보면 9, 99, 999, …과 같이 임의의 자연수 n에 대해 nn-1 꼴이 되는 수는 전부 카프리카 수인 것도 발견할 수 있습니다. 왜 그럴까요? 증명이 간단하니 여러분이 직접 구해보시면 좋겠습니다.

또한 카프리카 수처럼 사람의 이름이 붙은 수들이 있습니다.

피타고라스 수, 피보나치 수, 페르마 수, 카탈랑 수 등 다양한 수가 있는데, 이 수들에 대해 직접 찾아보고, 여러분도 수의 흥미로운 규칙을 찾아내어 여러분의 이름이 붙은 수를 만들어보는 것은 어떨까요?