많은 학생이 생활과 관계없는 수학 때문에 힘들다고 생각한다. 하지만 수학은 과학, 정보, 경제, 사회 등 여러 분야에서 도입한 개념에 대해 체계를 잡아주는 학문이다. 벡터, 함수, 방정식, 실수, 허수 등 모든 수학적 개념은 실생활에서 필요한 개념을 학문적으로 완성한 것이다. 수학은 실생활과 동떨어진 과목이 아니라 실생활에 필요한 부분을 채워주는 학문이다.
우리 삶에서 가장 먼저 수학을 접하는 것은 개수를 세는 것이다. 그다음으로는 덧셈, 뺄셈을 하게 되는데, 구구단에서 수학 인생의 첫 번째 고비를 맞이하게 된다. 이 고비를 벗어나면 나눗셈까지 멋지게 해낸다. 중학교에 진학하면서 수학 시간에 접하게 되는 각종 네모(□)와 문자의 등장은 수학으로 가는 길이 낯설고 어렵다는 걸 느끼게 한다. 새로운 문자 때문에 수학 여행에서 이탈하고 싶은 마음이 든다면, 잠시 멈추고 이 글을 읽어보길 권한다.
살면서 물건을 체계 있게 쌓아야 할 때가 있다. 물건을 쌓는 규칙은 맨 윗줄에는 1개, 그 아랫줄에는 2개, 그다음 줄에는 3개씩 놓는 것이다. 만약 물건이 10개 있다면, 맨 아랫줄에는 몇 개를 놓아야 할까? 당연히 몇 번 시도해보면 맨 아랫줄에 4개를 놓고 4줄을 쌓을 수 있다는 것을 알게 된다. 그런데 11개라면 어떨까? 이 규칙으로는 쌓기가 어려워지고, 약간의 변형이 필요해진다. 11개의 경우, 적어도 4개로는 불가능하다는 사실을 알 수 있을 것이다. 그렇다면 45개의 물건이 있다면 아랫줄에 몇 개를 놓아야 할까? 이 규칙에 딱 맞춰서 쌓을 수 있을까? 물건을 셀 때는 맨 윗줄부터 세면 되지만, 쌓을 때는 아랫줄부터 해야 하므로 어려움을 느낄 수 있다.
이런 경우 수학을 활용하면 문제를 쉽게 해결할 수 있다. 맨 윗줄부터 개수를 세면 1+2+3+4+…… 방식으로 셀 수 있다. 이렇게 하면 많은 학생이 눈치를 채게 될 것이다. 천재 어린이 가우스가 8살 때 담임선생님이 내준 문제 ‘1부터 100까지 더하라’를 단 몇 분 만에 해결한 수식이 있다.
< 1+2+3+4+…+100=100*101/2=5050 >
문제 ‘1부터 100까지 더하라’를 단 몇 분 만에 해결한 수식이 있다.
이 계산법을 기억하는가?
고등학교에 진학하면 < 1+2+3+4+…+n=n*(n+1)/2 >이 성립하므로 n줄을 쌓으려면 < n*(n+1)/2 >개의 물건이 필요하다는 규칙을 찾아내게 된다. 숫자로 주어진 특수한 상황이 아닌 일반적인(general) 상황(n번째)에서의 답이 무엇인지를 수식으로 표현하면 계산이 훨씬 빨라진다. n=9를 대입하면 <9*10/2=45 > 이므로, 물건이 45개가 있다면 맨 아랫줄은 9개의 물건을 놓아야 한다는 것을 바로 알게 된다.
여기서 물건의 개수를 n개의 단으로 쌓기 위해 x개의 물건이 필요하다고 하면 < x=n*(n+1)/2 > 이라는 식이 완성된다. 문자를 쓰지 않는다면 이것을 어떻게 설명할 수 있을까? 만약 이것을 수식이 아닌 말로 설명한다면, “쌓고자 하는 단의 개수와 그 개수에 1을 더한 숫자를 2로 나누면 물건을 쌓기 위해 필요한 물건의 개수가 나와”라고 설명할 수 있을까. 어렵지 않아 보이지만, 많은 사람은 수식으로 표현된 것을 더 쉽게 이해한다. 문자로 표현하면 다른 언어를 사용하는 사람과 소통하기 쉬워진다.
물건의 규격이 정해져 있고, 그 물건으로 멋진 구조물을 만들고자 한다면 몇 개가 필요할까? 이러한 질문에 답하기 위해서도 수식으로 표현된 것을 활용하면 계산이 용이해진다. 수식이 없다면 감으로 시작하고, 틀리면 처음부터 다시 시작해야 하는 상황이 발생할 수 있다.
문자가 우리를 괴롭히는 것이 아니라, 일상생활에서 부딪히는 문제를 해결하기 위해 문자를 사용한 것이다. 문자로 된 식을 사용하면 여러 가지 장점이 있다.
정경호 삼육고 수학교사
