서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 커피 한잔과 ‘부동점 정리’
그림 1과 같이 A4 용지 한 장을 구긴 다음 다른 A4 용지 위에 올려놓을 때, A4 용지 위의 각 점 중 위치가 변하지 않은 점이 존재할까?
이제 이 문제를 1차원 버전으로 풀어보자. 종이를 직선이라 하고 종이를 구기는 것을 직선을 구부리는 것으로 생각할 수 있다. 직선 위의 점을 닫힌 구간［a,b］에 대응시키면 직선을 구부리는 것으로 점들의 위치가 변하게 되는데 x 위치의 점이 이동된 점의 위치를 f(x)라 하자. 종이를 찢지 않고 구기는 것이므로 직선을 끊어지지 않는다.
따라서 f(x)는 연속함수다. 함수 f(x)가 닫힌 구간［a,b］에서 연속이고 f(a) ≥ a 이고 f(b) ≤ b 이므로 사이값 정리에 의하여 f(c) - c = 0인 c가 구간［a,b］사이에 존재한다. 즉 f(c)=c이므로 c 위치의 점은 위치이동 f에 의해서 위치가 변하지 않는 것이다. 이 점을 ‘부동점’이라고 하는데 네덜란드의 위상수학자 브라우어(Brouwer·1881~1966)는 위의 존재성 문제를 해결할 수 있는 부동점 정리를 발표하였다. ‘유계인 닫힌 볼록집합에서 자기 자신으로 가는 연속함수는 부동점을 갖는다’는 이 정리는 곧 여러 가지 존재 정리의 증명에 이용되었다.
예를 들면 상미분 방정식의 해의 존재, 교류회로 (상미분방정식계의 주기해), 타원형 편미분방정식의 해의 존재 등이다. 또 위상수학의 여러 문제에 응용되어 수학의 여러 분야의 발전에 큰 영향을 주었다. 영화 뷰티플 마인드로 유명한 미국의 수학자 존 내쉬는 부동점이론을 발달시킨 평형이론으로 1994년 노벨경제학상을 수상했다.
지도를 펼칠 때 실제 장소와 지도상의 한 곳은 반드시 같은 위치에 놓인다는 사실도 부동점 정리로 증명할 수 있다. 커피 잔에 커피를 저은 다음에도 젓기 전과 위치가 같은 위치에 놓인 입자가 존재한다는 사실도 부동점 정리로 증명할 수 있다.
■김국인 선생님
김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 교육대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - Pigs might fly…돼지도 날 수 있다고요?
오늘은 12지신 중 11번째와 12번째 주인공인 개와 돼지에 관한 표현들에 대해 알아보도록 하겠습니다. 예전에 [개와 고양이에 관한 진실]이라는 칼럼에서, doggy bag(식당에서 남은 음식을 포장해 주는 것)과, underdog(패배자) & overdog(지배자), 그리고 wag the dog(하극상) 등의 표현을 다룬 적이 있습니다.
이 외에도 인간과 가장 친숙한 동물인 개와 관련해서는 정말 다양한 표현이 있는데, 대표적으로 학교 시험 문제에서도 흔히 볼 수 있는 Every dog has its day를 들 수 있습니다. 우리 속담의 ‘쥐구멍에도 볕 들 날 있다’와 같은 뜻인데, 지금은 너무도 사랑받는 동물인 개와 관련해서는 생각보다 안 좋은 표현이 많답니다.
Go to the dogs는 ‘파멸하다’의 뜻이고 work like a dog은 ‘뼈 빠지게 일하다’의 뜻입니다. dog’s life는 ‘비참한 삶’을 의미하고, dog breath는 ‘지독한 입 냄새’를 뜻한답니다.
돼지와 관련해서도 부정적인 표현이 많은데, Pigs might fly라고 하면 ‘손에 장을 지지겠다’의 의미가 된답니다. 아무리 생각해도 돼지가 날 수는 없잖아요. 같은 의미로 in a pig’s eye란 표현도 있답니다. ‘절대 아니다’라는 다소 냉소적인 뉘앙스를 가지고 있으니 조심해서 사용해야 한답니다.
또 cast pearls before swine이라고 하면 ‘돼지 목에 진주’라는 뜻이 되는데, 돼지를 지칭할 때 pig 말고도 swine이나 hog 혹은 boar라는 표현도 자주 사용합니다. 저 역시 돼지라 다양한 표현을 알고 있네요~^^*
