최영욱의 신나는 수학여행 - 수학자들이 무서워하는 패러독스?
패러독스…다른 말로는 역설…사전적 뜻은 ‘일반적으로는 모순을 야기하지 아니하나 특정한 경우에 논리적 모순을 일으키는 논증’~!! 옛날부터 수학을 하는 사람들은 이 패러독스를 가장 재미있어하면서도 가장 무서워(?)했다. 왜냐고? 모두들 알다시피 논리학을 포함한 모든 수학은 답이 있어야 한다. 그런데 이 놈(?)은 아무리 생각해도 도저히 정답을 찾을 수가 없었기 때문이다. 하지만 이런 패러독스 덕분에 수학은 그 논리구조가 좀 더 튼튼해진 면도 있다. 아무튼 이번엔 아래의 대표적인 패러독스에 관한 에피소드를 통해 여러분이 직접 생각을 하며 이 패러독스라는 것을 느끼는 기회를 가져 보기로 한다. (단 생각하다가 여러분의 머리가 터질지도 모른다…^^) 1. 이발사 패러독스
어느 시골 마을에 한 이발사가 있어서, ‘스스로 머리를 깎을 수 없는 모든 사람들의 머리만 깎아준다’라는 원칙을 세웠다면 어떤 상황이 벌어질까. 여기에는 이런 모순점이 생긴다. 즉 이발사가 자신의 머리를 깎지 않는다면, 그 이발사는 자신이 머리를 깎아 주어야 할 마을 사람들에 속하게 되므로 이발사는 자신의 머리를 깎아주어야 한다. 그런데 이발사가 자신의 머리를 깎는다면 이번엔 자신이 스스로 머리를 깎을 수 있는 사람이 되므로 자신이 세운 원칙에 의해 그 이발사는 자신의 머리를 깎으면 안 된다. 따라서 이발사는 자신의 머리를 깎을 수도, 깎지 않을 수도 없는 애매한 상황에 놓이게 된다. 즉 원칙을 함부로 세우면 자기 모순에 빠지기 쉽다는 교훈을 얻을 수 있는 얘기~!!
2. 거짓말쟁이 패러독스
“내가 지금 하고 있는 말은 거짓말이다”라고 한 사람이 말했다고 하자. 그렇다면 과연 그의 말은 참일까, 거짓일까? 해답은 이렇다~! 만약 그의 말이 ‘참’이라고 한다면, 그가 하고 있는 말이 ‘거짓’이라고 스스로 말한 것에 어긋난다. 하지만 그가 한 말이 ‘거짓’이라고 한다면 이번엔 그가 한 말 자체가 ‘참’이 된다. 즉 어떻게 생각해 봐도 그의 말은 ‘참’도 ‘거짓’도 될 수가 없는 것이다. 즉 우리가 일반적으로 쓰는 평범한 말도 수학이 개입돼 버리면 가끔은 이렇듯 그 해석이 ‘개판(?)’이 돼 버릴 수도 있다. ^^;
3. 이번엔 이런 패러독스를 바탕으로 한 퀴즈다. 모두들 머리를 굴려서 정답을 맞혀보자!
두 마을과 연결된 두 갈래의 길이 있는데, 한 마을에는 참말만 하는 사람들이 살고, 다른 마을엔 거짓만 말하는 사람들이 살고 있다고 한다. 어느 날 정은이가 참말만 하는 마을을 찾아가다 이 갈림길에서 그만 어디로 가야 하는지를 잊어버렸고, 부득이하게 그곳에서 만난 한 사람에게 길을 묻게 되었다. 문제는, 이 사람이 두 마을 중 한 마을에 살기는 하는데, 대체 어느 마을에 사는 사람인지를 모르기 때문에 질문이 애매하면 엉뚱한 곳으로 가버리게 된다는 사실이다. 이때 정은이가 이 사람에게 하나의 질문을 해 애초의 목적지인 참마을로 옳게 갈 수 있는 방법은 무엇일까? 정답은 “당신이 사는 마을은 두 갈래의 길 중 어느 쪽입니까?”이다. 이렇게 되면 어느 마을에 사는 사람이든 반드시 참마을을 가리키게 된다. 헷갈린다고? 스스로 생각해보라~! 이 또한 수학이다~!! ^^
최영욱
‘신나는 수학여행’ 집필은 ‘수학나눔연구회’ 소속 서울 대치동 유명 강사들이 맡는다. 수학나눔연구회(회장 최문섭)는 20명의 유명 강사들이 교육기부 및 재능기부를 통해 교육환경이 열악한 학생들의 수학 수준을 향상시키기 위해 노력하는 비영리단체다. 이를 위해 현재 무료 수학 인터넷 강의사이트인 ‘수제비넷(www.sujebi.net)’을 운영하고 있다. 대입설명회, 교육불모지의 방과후수업 강의지원, 중·고교 교재 집필, 각종 온라인 교육업체 출강 등으로 재원을 조달하고 있다. 수학나눔연구회 소속 강사들의 저서로는 『최상위 수학』『최고득점 수학』등이 있다.
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