최문섭의 신나는 수학여행 -몬티홀 패러독스를 아시나요? ? 선혜는 친구들에게 선의의 장난을 즐기는 마음씨 착한 재벌 상속녀다. 하루는 세미란 친구에게 이런 내기를 제안했다. “세미야, 내가 너한테 모처럼 크리스마스 선물을 하고 싶은데, 그냥 주면 재미가 없잖아. 그래서 이런 게임을 준비해봤어~! 저쪽에 문 세 개가 보이지? 저 문들 중 한 개 문 뒤에는 스포츠카가 있고 나머지 문들 뒤에는 스포츠카 사진이 있어. 이제 네가 문 하나를 선택하면 그 문 뒤에 있는 걸 선물로 줄게.” 세미는 뛸 듯이 기뻐하며 조심스럽게 그중 하나를 골랐고, 바로 그때 선혜는 새로운 제안을 했다.
“그거 고른 거야? 그럼 이제 네가 스포츠카를 가질 확률을 높여 줄게. 이제부터 난 네가 선택한 문 말고, 남은 두 개의 문 중 스포츠카 사진이 있는 문을 열 거야. 그러면 넌 원래의 선택을 고수하든지 아니면 나머지 하나로 선택을 바꾸든지 하면 돼.” 이제 세미는 원래 자신이 선택한 문과 남은 문 하나 중 어느 하나를 다시 선택할 권리가 생겼다. 여러분이 곰곰이 생각해보라~! 과연 세미는 스포츠카를 받기 위해 원래의 선택을 고집하는 게 나을까, 아니면 선택을 바꾸는 편이 나을까. 또 선혜는 세미에게 더 나은 기회를 주긴 준 걸까.
여러분도 예상했겠지만 이런 상황에서의 선택은 다음 3가지 중 하나일 수밖에 없다. 그런데 대체 이 중에서 어떤 것을 선택해야 스포츠카를 가질 확률이 조금이라도 높아질까.
① 남은 문은 두 개뿐이니 바꾸거나 바꾸지 않거나 스포츠카를 받을 확률은 50 대 50으로 같으므로 그냥 내키는 대로 아무렇게나 선택한다. ② 선택을 바꾸는 것이 스포츠카를 탈 확률이 더 높다. ③ 선택을 바꾸지 않는 편이 스포츠카를 탈 확률이 더 높다.
정답은 ②번이다. 즉, 원래 선택한 문이 아닌 남은 문을 선택할 경우가 자동차를 탈 확률이 더 높다는 것이다. 다만 이 문제를 수학적으로 풀려면 다음과 같은 상당히 복잡한 조건부확률이 등장해야 한다. 먼저 A, B, C 세 개의 문 중에서 세미가 A를 선택했다고 가정하자. 그럼 A나 B, 또는 C 문 뒤에 자동차가 있을 수 있는데, 이 각각의 경우 선혜가 B를 열 확률은 선혜가 B를 열었다고 가정하고 세미가 A를 그대로 취할 때 스포츠카를 선택할 확률인 P(A|선혜B)와 세미가 선택을 C로 바꿨을 경우 스포츠카를 받게 될 확률인 P(C|선혜B)다. 블라블라~~ 자~, 이쯤만 해도 머리가 빙빙 돌지 않은가? 그래서 이 이후의 수학적인 해설은 궁금한 사람만 인터넷에서 찾아보기로 하자~! ^^
대신 다음과 같이 생각해보면 이 문제의 정답에 대한 이해가 훨씬 쉬울 것이다. 먼저, 세미가 처음 선택한 문에 스포츠카가 있을 확률은 3분의 1이고, 다른 두 개의 문에 있을 확률은 3분의 2다. 그런데 세미가 선택하지 않은 두 개의 문 중에서 상품이 없는 문 하나를 선혜가 열어줄 것이다. 그렇다면 원래의 두 개의 문에 스포츠카가 있을 확률인 3분의 2는 남은 하나의 문에 스포츠카가 있을 확률로 고스란히 이어진다. 따라서 이론적으로는 선택을 바꿀 때가 바꾸지 않을 때의 확률보다 2배 높음을 알 수 있다.
사실 이 문제는 몬티홀 문제 또는 몬티홀 패러독스라고 하여 전 세계적으로 유명하다.
최문섭
‘신나는 수학여행’ 집필은 ‘수학나눔연구회’ 소속 서울 대치동 유명 강사들이 맡는다. 수학나눔연구회(회장 최문섭)는 20명의 유명 강사들이 교육기부 및 재능기부를 통해 교육환경이 열악한 학생들의 수학 수준을 향상시키기 위해 노력하는 비영리단체다. 이를 위해 현재 무료 수학 인터넷 강의사이트인 ‘수제비넷(www.sujebi.net)’을 운영하고 있다. 대입설명회, 교육불모지의 방과후수업 강의지원, 중·고교 교재 집필, 각종 온라인 교육업체 출강 등으로 재원을 조달하고 있다. 수학나눔연구회 소속 강사들의 저서로는 『최상위 수학』『최고득점 수학』등이 있다
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