최문섭의 신나는 수학여행 - 쾨니히스베르크의 다리? 아니, 한강다리!
은정이는 잠실의 신천역 근처에 산다. 어느 날 우연히 집 근처의 지도(그림 참조)를 보게 된 은정이는 지도에 보이는 크고 작은 6개의 다리를 한 번씩만, 어떤 식으로 건너면 다시 집으로 돌아올 수 있을까 하는 생각이 문득 들었다. 그런데 하나하나 경우의 수를 따져도 혼동만 되고, 그래서 고민 끝에 직접 자전거를 타고 움직여 보기로 했다. 과연 은정이는 집으로 돌아올 수 있을까? 답은 ‘없다’이다. 안타깝게도 은정이는 영원한 가출 상태(?)가 된다. 쾨니히스베르크라는 곳이 있다. 과거 독일 영토였던 동프로이센의 수도인데, 지금은 러시아의 영토다. 한동안 이곳에 있는 프레겔강의 다리 7개를 한 번씩만 건너서 원래의 위치로 돌아올 수 있느냐 없느냐 하는 문제로 수학계가 시끌시끌했다. 결국 스위스의 수학자 오일러가 한붓그리기라는 방법을 통해 한 번에 건널 수 없음을 밝혀냈다.
좋다~! 그럼 우리도 한붓그리기로 은정이가 왜 집에 돌아올 수 없는지, 혹시 다른 방법은 없는지 한강다리를 건너보자. 먼저 주어진 지도를 집 근처의 다리 위주로 단순화시켜보자.
그림에 의하면 은정이는 A지점에서 ①~⑥까지의 다리를 한 번씩만 건너서 B, C지점을 적당히 거친 후 다시 A지점으로 돌아와야 한다. 하지만 아무리 이 그림으로 다시 돌아오는 길을 찾아봐도 방법은 없을 것이다. 문제는, 하다가보면 마치 답이 있을 것 같은 착각에 포기 못하고 끊임없이 시도하게 된다는 것이다. 바로 이런 경우에 왜 안 되는지를 알려줄 수 있는 유일한 방법이 수학이다. 일단 A, B, C지역은 점으로, 다리는 선으로 나타내 도형화한 후 한붓그리기 이론을 적용해 보자.
한 점에 모인 선의 개수가 홀수이면 ‘홀수점’, 짝수이면 ‘짝수점’이라고 하는데, 그림에선 C가 짝수점이고, A, B는 홀수점이다. 그리고 그림의 한붓그리기는 홀수점의 개수가 0개이면 시작한 점에서 끝나게 되고, 2개이면 시작한 점의 다른 쪽 점에서 끝나게 돼 있다. 따라서 이 도형은 A에서 시작해 B 또는 C에서 끝나는 것으로 한 번에 그려진다. 그렇기 때문에 은정이는 절대 제 자리로 돌아올 수 없는 것이다.
다만 머리를 조금만 창의적으로 쓰면 은정이는 집으로 갈 수 있다. 모든 강은 분명히 그 끝이 있으므로 이 경우엔 ②, ①, ④, ⑤, ⑥, ③의 순서로 다리를 건넌 후 한강 끝까지 가서 돌아오면 되는 것이다. 길이 좀 험해서 그렇지 집에 못가는 것보다는 낫지 않은가!
최문섭
‘신나는 수학여행’ 집필은 ‘수학나눔연구회’ 소속 서울 대치동 유명 강사들이 맡는다. 수학나눔연구회(회장 최문섭)는 20명의 유명 강사들이 교육기부 및 재능기부를 통해 교육환경이 열악한 학생들의 수학 수준을 향상시키기 위해 노력하는 비영리단체다. 이를 위해 현재 무료 수학 인터넷 강의사이트인 ‘수제비넷(www.sujebi.net)’을 운영하고 있다. 대입설명회, 교육불모지의 방과후수업 강의지원, 중·고교 교재 집필, 각종 온라인 교육업체 출강 등으로 재원을 조달하고 있다. 수학나눔연구회 소속 강사들의 저서로는 『최상위 수학』『최고득점 수학』등이 있다
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박희성의 맛깔난 잉글리시- Head over heels … 발꿈치 위에 머리?
영어에 ‘head over heels’라는 표현이 있다. 직역하면 ‘발꿈치 위에 머리’인데 이게 대체 무슨 뜻일까? 놀랍게도 영어에서 이 표현은 “He is head over heels in love with her”처럼 사용될 때 “그는 그녀와 사랑에 푹 빠져있다”라는 의미로 쓰인다. 왜 이런 의미가 나오게 됐을까?
head over heels의 본래 의미는 upside-down(위아래가 뒤집힌), topsy-turvy(온통 뒤죽박죽인)처럼 무언가 사물이 제 상태에 있지 않은 것을 나타낸다. 그래서 head over heels에는 ‘거꾸로’ 혹은 ‘공중제비를 넘다/넘는’과 같은 의미가 있다. 그리고 이 의미에서 파생돼 공중제비를 넘을 만큼 흥분한 상태라는 의미가 나오며, 이것이 in love란 표현과 함께 쓰였을 때 정신을 못 차릴 정도로 사랑에 푹 빠져 있다는 의미가 나오는 것이다.
