구자득의 신나는 수학여행 - 분수를 제대로 알고 살자구요! ‘…중략… 일생의 1/6은 소년시대였고, 1/12은 청년시대였소. 그 뒤 다시 일생의 1/7을 혼자 살다가 결혼하여 5년 후에 아들을 낳았고, 그의 아들은 아버지 생애의 1/2만큼 살다 죽었으며, 아들이 죽고 난 4년 후에 비로소 디오판토스는 일생을 마쳤노라.’ 이 글은 84세에 세상을 떠난 디오판토스라는 수학자의 묘비에 쓰여 있는 글이라고 한다. 여러분이 보기에도 심오한 뭔가가 있어 보이지 않은가? 그렇다! 이 글의 묘미는 중간중간에 나타나는 분수에 있다. 즉, 중간에 나오는 분수가 전부 자연수였다면 이 디오판토스의 묘비의 내용은 지금처럼 뭔가가 있어 보이진 않았을 것이란 얘기다.
인류의 역사에 있어서 물건이나 어떤 순서를 셀 때는 자연수가, 어떤 물건을 나눌 때는 분수가 필수적이었다. 사실 분수의 시작은 지금으로부터 약 4000년 전인 기원전 1800년쯤이라고 한다. 처음엔 현재 우리가 사용하는 두 정수의 비의 형태와 같은 모습으로 바빌로니아에서 사용돼 오다 약 2000년 전쯤 고대 그리스인들에 의해 지금의 모습과 유사한 형태로 나타났는데, 그땐 특별히 분모와 분자를 구별하는 선을 긋지 않고 그저 분모는 위에, 분자는 아래에 표기한 형태였다.
또한 파피루스를 보면 이집트인이 분수를 어떻게 사용했는지를 알 수 있는데, 분자가 1인 단위 분수와 2/3라는 분수만을 사용했으며 이들의 합을 통해 다른 모든 분수를 나타냈다. 예를 들어 7개의 물건을 8명에게 나눠주는 과정을 보면, 먼저 7개 중 4개를 각각 2조각으로 나눈 후 8명에게 1조각씩 줘서 1/2씩을 갖게 한다. 그리곤 남은 3개 중 2개를 각각 4조각으로 나눠 8명에게 나눠줘 1/4씩을 더 갖게 하고, 마지막으로 남은 1개를 8조각으로 나누어 각각 1조각씩을 주게 되면, 결국 1인당 전체의 1/2+1/4+1/8=7/8씩을 나눠줄 수 있다. 좀 번거로워서 그렇지 근본적인 방법은 참 단순하면서도 합리적이다.
이런 분수를 사용한 특이한 문제가 하나 더 있다. 낙타 17마리를 세 아들에게 남기며 유언을 한 상인의 얘기다. 유언의 내용은 “장남은 낙타 17마리 중 1/2을, 차남은 1/3을, 삼남은 1/9을 갖도록 하여라.” 여러분은 이게 말이 되지 않는 것을 알겠는가? 왜냐하면 17은 2, 3, 9의 어느 것으로도 나누어지지 않으므로 이 상태라면 낙타를 자르지(?) 않고는 분배를 할 수 없다. 하지만 여기엔 다음과 같은 기막힌 해법이 있다. 얘기는 계속된다.
마침 낙타 한 마리를 끌고 가던 한 노인이 “나의 낙타를 합하여 총 18마리로 나눠 보시오”라고 권유했고, 삼형제는 노인의 조언대로 총 18마리의 낙타로 나누기를 시작했다. 먼저 18마리의 1/2인 9마리를 장남이 갖고, 다음엔 18마리의 1/3인 6마리를 차남이 가졌고, 마지막으로 18마리의 1/9인 2마리를 삼남이 가졌다. 그런데 9+6+2=17이므로 낙타 한 마리는 누구도 갖지 않은 채 그대로 남았고, 노인은 그들에게 “어떻습니까? 당신들은 유언대로 낙타를 나누어 가졌고, 난 빌려준 낙타 1마리를 다시 받을 수 있으니 아무도 손해 안보고 문제가 해결됐죠? 그럼 잘 사시오”하고 길을 떠났다고 한다.
물론 이 문제는 엄밀히 말하면 최대공약수의 문제다. 하지만 분수라는 것이 있었기 때문에 이런 재미있는 얘기로 나타날 수 있었던 건 아닐까?
구자득
‘신나는 수학여행’ 집필은 ‘수학나눔연구회’ 소속 서울 대치동 유명 강사들이 맡는다. 수학나눔연구회(회장 최문섭)는 20명의 유명 강사들이 교육기부 및 재능기부를 통해 교육환경이 열악한 학생들의 수학 수준을 향상시키기 위해 노력하는 비영리단체다. 이를 위해 현재 무료 수학 인터넷 강의사이트인 ‘수제비넷(www.sujebi.net)’을 운영하고 있다. 대입설명회, 교육불모지의 방과후수업 강의지원, 중·고교 교재 집필, 각종 온라인 교육업체 출강 등으로 재원을 조달하고 있다. 수학나눔연구회 소속 강사들의 저서로는 『최상위 수학』『최고득점 수학』등이 있다
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박희성의 맛깔난 잉글리시 - Put your John Hancock on it … 존 행콕을 어쩌라구? 당신의 John Hancock을 여기에 올려두라고? 아니 이게 대체 무슨 뚱딴지 같은 소리야? 일상 생활에서 종종 사용되는 이 표현의 의미를 이해하기 위해서는 미국의 역사와 John Hancock이란 인물에 대해 간략하게 알아볼 필요가 있다.
