강현민의 신나는 수학여행 - 확률의 치명적 오류들
현민이네 부모님은 겜블러다! 그래서 용돈을 주실 땐 늘 봉투 2개를 내미신다. 한 봉투에는 다른 봉투에 있는 금액보다 2배의 용돈이 들어 있다고 하시면서! 오늘도 현민이는 봉투 하나를 골랐고, 열어 보니 대박~ 20만원이다! 그 순간 원하면 봉투를 바꾸라는 부모님의 말씀! 흐음~, 고민, 고민… 저 봉투의 돈이 내 봉투의 2배라면 40만원이 생기겠지만, 내 봉투의 돈이 저 봉투의 2배라면 저기엔 10만원밖에 없다.’…계속 고민~. 이런 경우 현민이는 어떤 선택을 해야 할까?
보통 이런 상황을 수학적으로 해결하기 위해서는 ‘복권의 기댓값’이라는 이론을 사용한다. 복권의 기댓값이란 쉽게 말하면 ‘복권 한 장 한 장이 가지고 있는 현재의 가치’를 말하는데, 이 경우의 기댓값을 계산해보면 25만원이 나온다(※참고). 이 의미는 현민이가 봉투를 한 번 선택할 때마다 평균적으로 25만원이 늘 생긴다는 뜻이므로 현민이는 무조건 다른 봉투를 선택하지 않을 이유가 없다. 그런데, 과연 그럴까?
사실 여기에는 약간의 확률적 착오가 있다. 즉, 기댓값은 여러 번 지속했을 때 평균적으로 받을 수 있는 금액이므로 단 한 번의 선택으로 끝나버리는 이런 상황에선 어떤 판단을 내리는 자료로 쓰기엔 무리다. 다시 말해서 현재 나타난 기댓값으로만 보면 현민이가 다른 봉투를 선택하는 것이 100% 옳지만 그것은 여러 번의 다른 기회가 더 주어졌을 때 의미가 있는 것이고, 지금처럼 ‘한 번만 더!’라는 경우에선 10만원과 20만원이 나올 확률이 50%씩이므로 단순히 찍는 수준 이상도 이하도 아닌 상황이 되는 것이다. 웃기지 않은가? 정확한 이론과 계산을 통해 수학은 100% 봉투를 다시 선택해야 된다고 말하고 있는데, 실제 알고 보면 운에 맡기고 찍는 상황과 같다는 사실이~!
또 하나의 오류가 있다. 부모님이 두 봉투를 준비하는 경우를 (10만원, 20만원) (20만원, 40만원)으로 나타내 보자. 위에서 계산한 기댓값은 둘 중 하나를 선택할 확률이 똑같이 50%씩일 경우다. 하지만 실제로 부모님이 이 두 가지의 용돈을 준비할 확률이 똑같이 50%씩 일까? 만일 그날따라 부모님이 공돈(?)이 왕창 생겼다면 (10만원, 20만원)을 주실 확률보다는 (20만원, 40만원)을 줄 확률이 커질 것이고, 반대로 바닥을 친 성적표를 보신 뒤라면 도리어 (10만원, 20만원)을 주실 확률이 압도적으로 커질 것이다. 즉, ‘선택될 확률이 항상 같다’라는 조건이 없는 한 (10만원, 20만원) (20만원, 40만원) 중 하나를 선택할 확률은 그때그때 부모님의 마음에 의해 달라지는 것이다. 이렇게 감정적인 요소에 의해 좌우되어 하나로 딱 정할 수 없는 확률을 비공식적으로 ‘감정적 확률’이라고도 하는데, 이를 바탕으로 생각하면 위의 상황에선 확률이 확정되지 않으므로 기댓값도 구할 수 없다. 그건 그렇고… 나 같으면 봉투를 다시 선택할 것 같다. 잘만 되면 40만원이잖아~ 유후~, 베팅~!!
※참고: 기댓값의 뜻은 ‘복권 한 장에 기대할 수 있는 당첨금액’ 또는 ‘총 당첨금의 평균 금액’이고, 구하는 공식은 ‘기댓값(평균)=(상금×확률)의 총합’이다. 따라서 위의 경우에 구하는 기댓값은 봉투에 10만원과 40만원이 들어있을 확률을 각각 50%라고 생각하므로 100,000×0.5+400,000×0.5=250,000(원)이 된다.
강현민
‘신나는 수학여행’ 집필은 ‘수학나눔연구회’ 소속 서울 대치동 유명 강사들이 맡는다. 수학나눔연구회(회장 최문섭)는 20명의 유명 강사들이 교육기부 및 재능기부를 통해 교육환경이 열악한 학생들의 수학 수준을 향상시키기 위해 노력하는 비영리단체다. 이를 위해 현재 무료 수학 인터넷 강의사이트인 ‘수제비넷(www.sujebi.net)’을 운영하고 있다. 대입설명회, 교육불모지의 방과후수업 강의지원, 중·고교 교재 집필, 각종 온라인 교육업체 출강 등으로 재원을 조달하고 있다. 수학나눔연구회 소속 강사들의 저서로는 『최상위 수학』『최고득점 수학』등이 있다
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박희성의 맛깔난 잉글리시 - Nature calls 자연이 부른다(?)
원어민들이 사용하는 표현 중 “Nature calls” 혹은 “Nature calls me”라는 표현이 있다. 그대로 해석하면 “자연이 나를 부른다”라는 의미이므로, 이게 대체 무슨 소린가 어리둥절할 수가 있다. 그런데 재미있게도 이 표현은 “화장실에 가야겠다”를 의미하는 표현이다. 영어 원어민들은 왜 이런 표현을 사용할까?
