최문섭의 신나는 수학여행 -수학에 관한 몇 가지 불편한 진실!!
내 생각엔 세상 학문 중에 수학만큼 어설프고 허점도 많은 학문이 없는 것 같다. 이런 말을 들으면 깜짝 놀라는 사람도 있을 것이다. 왜냐하면 수학은 확실한 답이 항상 존재하는 완벽한 학문이라고 배웠을 테니까. 하지만 다음과 같은 몇 가지 수학적 사실들을 알고 나면 여러분의 수학에 대한 시각이 조금은 달라질 것이다.
< Case 1 > 정했지만 정할 수 없다? 아마(0을 제외한 모든 수)0 =1이라고 배웠을 것이다. 하물며 허수인 i0 , 문자인 a0조차도 그 값은 1이다. 그런데 왜 00의 값은 1로 정하지 못할까? 다음과 같이 1을 정의해 보자. 1= … =30 =20 =10 =00 =(-1)0 = (-2)0 = (-3)0 = … , 자~ 이제 00 은 1이 된다. 또, 이번엔 이렇게 0을 정의해 보자. 0= … =03 =02=01=00 , 이제 00 은 0 이다. 즉, 이렇게 00 이 0도 됐다가 1도 됐다가 하니 어느 수학자도 00 의 값을 정의할 수 없었던 것이다. 그렇다면, 이런 불완전한 이론은 수학에서 사용할 수 없지 않은가? 하지만 계산에 절대적으로 필요하다는 이유로 0만 살짝 빼고 나머지는 사용하고 있는 것이 현실이다. 여러분도 찾아보면 수학책엔 이렇듯 안되는 경우만 살짝 빼고 나머지는 사용하고 있는 비겁(?)한 정의, 정리들이 의외로 많다는 것을 알 수 있을 것이다.
< Case 2 > 모든 실수집합의 원소의 개수는 모두 같다? 집합 A는 0과 2사이의 실수를, 집합 B는 0과 1사이의 실수를 원소로 갖는다고 하자. 이건 어느 누가 봐도 집합 A가 크다. 하지만 이 두 집합의 원소의 개수를 비교해보면 정말 웃기는 일이 일어난다. 먼저 집합 A의 모든 원소를 2로 나누어 집합 B의 원소에 하나하나 대응시켜보자. 그러면 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 모든 원소에 일대일대응이 되므로 n(A)=n(B)이다. 이번엔 집합 A의 모든 원소를 3으로 나누어 집합 B의 원소에 하나하나 대응시켜보자. 도리어 n(A)<n(B)이다. 이런! A가 큰 집합인데도 원소의 개수는 두 집합이 같거나 도리어 A가 적다! 이쯤되면 수학에서 말하는 집합의 크기가 무엇인가에 관한 모든 게 뒤죽박죽이 된다. 그래서 집합에선 연속하는 수집합의 원소의 개수는 정의하지 않는다.
< Case 3 > 지구상에서는 큰 다각형을 그릴 수 없다? 지구본 위에 삼각형을 그린 후 그 내각의 합을 구해보면 180도를 훌쩍 넘는다. 그렇다! 모든 다각형을 구 위에 그리면 그 내각의 합이 우리가 알고 있는 것보다 크게 된다. 이것은 편평한 평면 위에서 정의된 도형을 구형의 표면에 적용하면 그 내각의 크기에 오차가 생기기 때문이다. 그럼에도 아직껏 평면도형을 사용하는 이유는, 평면도형을 근거로 지구상에 구조물을 만들어도 그 오차가 미미하여 전혀 문제가 되지 않았기 때문이다. 그러나 과학이 더욱 발달하여 밑면이 한 변의 길이가 100㎞인 정사각형으로 된 건축물을 짓게 된다면, 이때는 정사각형이 되도록 지구상에 네 점을 찍어 선분으로 쭉쭉 연결해서는 안될 문제다. 그렇게 되면 밑면인 정사각형의 네 각이 직각이 되지 않아 구조물의 안전에 크게 문제가 생기기 때문이다. 그러면 어떻게 해야 할까? 글쎄~ ^^;
최문섭
‘신나는 수학여행’ 집필은 ‘수학나눔연구회’ 소속 서울 대치동 유명 강사들이 맡는다. 수학나눔연구회(회장 최문섭)는 20명의 유명 강사들이 교육기부 및 재능기부를 통해 교육환경이 열악한 학생들의 수학 수준을 향상시키기 위해 노력하는 비영리단체다. 이를 위해 현재 무료 수학 인터넷 강의사이트인 ‘수제비넷(www.sujebi.net)’을 운영하고 있다. 대입설명회, 교육불모지의 방과후수업 강의지원, 중·고교 교재 집필, 각종 온라인 교육업체 출강 등으로 재원을 조달하고 있다. 수학나눔연구회 소속 강사들의 저서로는 『최상위 수학』『최고득점 수학』등이 있다
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