연필 한 자루와 눈금 없는 자, 그리고 컴퍼스만으로 무엇을 그릴 수 있을까요? 언뜻 단순해 보이는 이 제한된 도구로도 우리는 원을 그리고, 이등분선을 긋고, 정다각형을 만들 수 있습니다. 이러한 활동을 ‘작도(作圖)’라고 부릅니다. 작도는 단순히 예쁜 그림을 그리는 것과는 전혀 다릅니다. 엄격한 규칙과 제한 속에서 인간의 사고를 논리적으로 전개하는 훈련이며, ‘어떻게 할 수 있는가’와 동시에 ‘어디까지 가능한가’를 탐구하는 지적 활동입니다. 고대 그리스 시대부터 사람들을 매혹시켜왔지만 결국 불가능하다고 판명된 세 가지 작도 문제가 있는데, 그중 하나가 바로 ‘델로스 문제’입니다.
“신에게 제물을 바치는 제단을 2배로 만들라.”
델로스섬의 아폴론 신전에서 내려온 이 신탁은 전염병으로 고통받던 시기에 제단을 2배로 키우면 신의 노여움이 가라앉을 것이라는 신앙에서 비롯되었습니다. 당시 사람들은 이를 실제로 제단을 2배로 지어야 하는 구체적 과제로 받아들였고, 건축가들은 그 방법을 몰라 곤란에 빠졌습니다. 절망에 빠진 건축가들이 플라톤에게 갔을 때, 플라톤은 신탁이 그리스인들의 수학과 기하학에 대한 소홀함을 비판하려는 것이라고 해석했습니다. 결국 이 문제는 종교적 의식을 넘어 수학자들이 본격적으로 나서야 하는 도전 과제가 되었습니다.
신탁은 정육면체 모양의 제단 부피를 정확히 2배로 하라는 뜻이었습니다. 흔히 하는 착각은 ‘각 변을 2배로 늘리면 되겠지?’인데, 그렇게 하면 부피는 2×2×2로 8배가 되어버립니다. 따라서 새로운 제단의 한 변의 길이를 x라고 할 때, x3=2 가 되어야 실제로 부피가 정확히 2배가 됩니다. 이는 곧 x=
(약 1.26…)라는 값을 작도할 수 있느냐의 문제입니다. 정사각형의 대각선을 이용하면
는 쉽게 얻을 수 있지만, 세제곱근은 다릅니다. 자와 컴퍼스로 얻을 수 있는 수는 제곱근을 반복해 얻는 수(이차 확장)에 한정되는데,
는 그 범주 밖에 있어 순수 작도로는 불가능합니다.
고대의 수학자 아르키타스는 입체적 구성을 통해 이 문제를 ‘기계적으로’ 해결했습니다. 여기서 ‘기계적’이란 자와 컴퍼스만 쓰는 순수 작도가 아니라, 추가 장치와 연속적 운동을 허용한다는 뜻입니다. 아르키타스는 직각을 가진 T모양의 자를 여러 개 이어 붙이는 방식을 사용했습니다. 1과 2 사이의 두 수 x, y를 찾아 1 : x = x : y = y : 2가 되도록 그림을 그리면, 이때 x3=2 가 되어 점 C의 좌표가
