학생 여러분 안녕하세요! 개학과 함께 새로운 반과 선생님을 만나 올해도 잘해낼 수 있기를 바랍니다. 개학해서 여러모로 힘들 테니, 오늘은 조금 가벼운 이야기를 해보겠습니다.
정삼각형을 아래와 같이 배치하면 점의 개수는 총 6개가 됩니다. (그림 1) 위에서부터 가로선에 놓은 점의 개수는 1개, 2개, 3개로 하나씩 늘어나는 모습을 보이고 1+2+3의 결과로서 6이라는 결과가 나옵니다. 이 그림 아래에 정삼각형을 한 줄 더 붙여 전체의 모양을 유지하며 확장한다면 다음 그림이 됩니다. (그림 2) 이때 필요한 점의 개수는 어떨까요? 직접 세어봐도 좋겠지만, 패턴을 찾아본다면 더 쉬울 겁니다. 위부터 가로를 기준으로 더해나간다면 1+2+3+4로 계산할 수 있고, 총 10개의 점이 있다는 사실을 알아낼 수 있습니다.
여기에서 나오는 6, 10과 같은 수를 바로 ‘삼각수’라고 부르는데요, 점 하나부터 시작해 점 세3개의 삼각형을 포함한다면 삼각수는 순서대로 1, 3, 6, 10, ⋯⋯ 으로 이어지게 됩니다.
한 변의 길이를 더 늘린다면 어떨까요? 밑변에 총 100개의 점이 찍힐 때까지 확장한다면, 그때 놓여 있는 점은 총 몇 개일까요? 이런 상황에서라면 덧셈을 조금 더 길게 해야 할 것입니다. 1+2+3+⋯⋯+99+100을 계산해야겠죠. 이 계산으로 유명한 가우스라는 수학자가 있습니다.
가우스가 초등학생일 때, 학교 선생님께서 이 문제를 냈는데 선생님이 미처 자리에 앉기도 전에 답을 내서 선생님을 놀라게 했다는 이야기입니다. 당시 가우스가 떠올린 수학적 아이디어는 바로 수끼리 짝을 지어주는 것입니다. 1+2+3+⋯⋯+99+100을 (1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯⋯+(49+52)+(50+51)로 짝을 지어준 것입니다. 그러면 괄호마다 101이 되고 총 50개가 있으므로 101×50, 즉 5050이라는 결과가 나옵니다. 따라서 100번째 삼각수는 5050이 되는 거죠.
이를 특정한 수가 아닌 문자를 사용해 일반화할 수 있습니다. 그러면 때때마다 계산하지 않아도 되겠죠? 1부터 n까지의 합을 구할 때 가우스와 같은 방식을 생각한다면 각 묶음은 (n +1), 묶음의 총개수는
가 되니 총합은
가 됩니다.
이런 삼각수를 포함해 사각수, 오각수 등을 묶어서 도형수라는 이름으로 부릅니다. 그 패턴에서 무언가를 찾아내고 일반화하는 과정은 자연수만을 다루기에 초등학생부터 고등학생까지 어렵지 않게 공부해볼 수 있는 주제입니다. 특히 고등과정에서 수열을 공부한다면 서로 겹치는 부분이 있다는 점을 어렵지 않게 볼 수 있습니다.
이와 관련한 또 한 명의 수학자를 찾아볼 수 있습니다. 블레즈 파스칼은 프랑스의 수학자이자 과학자입니다. 파스칼이라는 이름은 수학책이나 과학책 여기저기서 흔히 볼 수 있을 만큼 꽤 유명한 사람이죠. 그 때문에 성이 같은 다른 사람의 결과라고 여겨지는 경우도 있지만 사실은 대부분 이 사람의 연구 결과입니다.
파스칼은 위에서 사용한 삼각형을 그대로 사용하며 각 점의 위치에 수를 다음과 같이 올려놓았습니다. (그림 3) 맨 위와 양쪽 빗변에는 모두 1을 두고, 내부에 있는 점은 윗줄에 대각선으로 연결된 두 수의 합으로 채운 것입니다. 이런 식으로 삼각형을 아래로 계속 확장할 수 있습니다. 이 삼각형을 ‘파스칼의 삼각형’이라 부릅니다.
파스칼의 삼각형에서 대각선을 살펴보면 빗변은 1, 1, 1, ⋯⋯이고 그 아래 대각선은 1, 2, 3, ⋯⋯입니다. 그리고 그 아래 대각선은 1, 3, 6, 10, ⋯⋯의 형태가 되는데 바로 이 수들이 위에서 말한 삼각수이기 때문에 파스칼의 삼각형을 통한다면 삼각수에 훨씬 더 편하게 접근할 수 있습니다.
파스칼의 삼각형에는 더 신기한 사실을 찾아볼 수 있습니다! 그중 가장 쉽게 찾아볼 수 있는 것은 가로줄의 합입니다. 각 가로줄의 수를 다 더하면 첫 줄부터 1, 2, 4, 8, 16, ⋯⋯으로 두 배씩 커지는 것을 볼 수 있습니다.
또한 곱셈 공식 중
에서 전개식의 계수가 1, 2, 1인 것을 두 번째 가로줄에서 찾을 수 있는데,
의 전개식의 계수 또한 세 번째 가로줄에서 찾을 수 있습니다. 게다가 각 점에 놓인 수들은 경우의 수 중 조합의 계산 결과와도 같기에 이러한 사실들을 서로 연동해 새로운 사실도 알아내는 것이 가능합니다.
단순한 수의 나열에서 곱셈공식의 전개식까지 연결되는 것, 전혀 상관없어 보이는 두가지가 연결되는 것은 그 자체로 수학의 아름다움을 보여주는 사실이 아닐까 합니다.
