무한이라는 것이 얼마나 흥미로운 것인지 수식어를 고르려다 결국은 정하지 못했습니다. 그렇습니다. 학생들 중 얼마나 제 마음을 이해할지 모르겠지만, 무한이란 그런 것입니다. 무한이 수학적으로, 논리적으로 적용되는 결과들은 인간의 직관과 다르게, 어떨 때는 반대로 도출됩니다. 무한이 흥미로운 이유는 많지만 그러한 이유를 종합한다면 결국 이 이유로 귀결된다고 생각합니다.
인간의 인식이란 기본적으로 유한하며 한 번에 인식할 수 있는 수 자체도 많지 않습니다. 조금씩 다르게 느낄 수도 있지만, 일반적으로는 5개를 넘어가는 물건은 한 번에 직관적으로 인식하기 어렵습니다. 책상에 놓인 6개의 볼펜을 볼 때 자신의 인식을 잘 더듬어보면 3개와 3개로 묶어 인식하거나, 2개짜리 묶음 3개로 인식하고 있는 걸 떠올릴 수 있습니다.
볼펜을 세기 쉽게 잘 늘어놓는 게 도움이 될 수 있겠네요. 하지만 여전히 머릿속에 아주 당연한 듯이 직관적으로 그 개수가 찍혀 들어오지 않는다는 것을 느낄 수 있을 겁니다. 우리는 이 과정이 워낙 익숙하고 빠르기에 전혀 어려움을 느끼지 못할 뿐이죠. 컴퓨터가 아무리 복잡한 계산할 수 있다 하더라도 결국 1+1의 연속으로 이루어지는 것이고 그 간극이 워낙 짧아 우리가 불편을 느끼지 못하는 것과 같습니다.
그래서 어떤 것이 무한히 많다거나 어떤 계산을 무한하게 해나간다는 것은 우리의 직관과 전혀 어울리지 않습니다. 우리가 무한하다는 것을 인식하는 과정은 10개 다음에 또 10개가 있고, 그다음에 10개가 있는데 이것이 끊이지 않고 계속해서 이뤄지는 과정입니다.
무한 자체가 인식되는 것이 아닌, 유한적 확장을 그저 마무리하지 않는 것으로 인식하는 것이 인간의 직관입니다. 이것은 우리가 바꿀 수 있는 것이 아닙니다. 하지만 그 차이를 인식하는 것이 우리에게 큰 도움이 됩니다.
수학자들은 멈추지 않는 과정으로서의 인식을 ‘가무한’이라고 말합니다. 이러한 과정의 반복으로 무한을 이해하는 직관적인 인식이 인간이 가지고 있는 기본적 인식입니다. 이와 다르게 무한 그 자체로 존재하는 형태로의 인식을 ‘실무한’이라고 구별합니다. 이는 너무나도 반직관적이었기에 최근에서야 모순 없이 완성된 체계로서 이해되는 무한에 대한 인식입니다.
둘의 차이를 볼 수 있는 매우 유명한 소재 중 하나로,
와 1에 대한 것을 볼 수 있습니다. 이 두 수가 같다는 것은 중학교 2학년 과정에서 다루는데 다양한 방식으로 증명이 가능합니다.
임을 납득할 수 있다면
이라는 짧은 식으로도 두 수가 같음을 보일 수 있죠.
