(19) 도형의 방정식
좌표를 이용하면 도형에 대한 문제를 식의 계산을 통해 쉽게 해결할 수 있는 경우가 많아서 유용합니다. 이때 문제 해결에 이용되는 점의 좌표가 간단해지도록 좌표축을 정하면 편리합니다.
Getty Image Bank “중학교 도형 문제는 보조선만 잘 그리면 된다.” 이런 말 들어본 적 있나요? 중학교에서 도형의 성질이 성립함을 보이거나 도형과 관련한 문제를 해결할 때 보조선을 긋는 경우가 많습니다. 그런데 대부분의 학생이 이 보조선을 못 그어서 도형 문제를 해결하지 못하는 경우가 많습니다. 고등학교에서는 도형을 좌표평면 위로 옮기는 것을 배우는데, 이렇게 하면 도형의 성질이 쉽게 확인되거나 도형 문제가 해결되는 경우가 많습니다.다음 도형의 성질을 ‘파포스의 정리’라고 합니다.
이 파포스의 정리를 서로 다른 두 가지 방법으로 설명해보겠습니다.첫 번째는 삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발 H를 찾아 선분 AH를 긋고, 두 직각삼각형 ABH, AHC에서 피타고라스 정리를 이용해 ①이 성립함을 설명하는 방법입니다.
이 방법은 중학교 때 배운 피타고라스 정리만 활용하면 된다는 장점이 있지만 적절한 보조선을 생각하기 힘들고 식을 정리하기에 복잡하다는 단점이 있습니다.여기서는 선분 AM의 길이를 구해야 하는데, 선분 AM은 비스듬합니다. 비스듬한 선분의 길이를 구할 때 피타고라스 정리를 사용하기 위해 직각삼각형을 만들려고 보조선인 선분 AH를 그었습니다. 그런데 이 보조선인 선분 AH를 긋는 것이 학생들에겐 상당히 어렵습니다.두 번째는 삼각형 ABC를 좌표평면 위에 놓아 각 꼭짓점의 좌표를 정하고, 세 변의 길이를 구하여 ①이 성립함을 설명하는 방법입니다.
이 방법은 삼각형 ABC를 좌표평면 위에 놓아 각 꼭짓점의 좌표를 정하고, 좌표평면 위 두 점 사이의 거리를 구해 대수적으로 설명한 것인데, 이렇게 풀면 아주 쉽게 풀립니다.여기서 삼각형 ABC를 좌표평면 위에 놓을 때, 원점의 위치를 어떻게 정하는 것이 편리한지 생각해봅시다.위의 풀이와 달리 꼭짓점 B를 원점으로 잡고 변 BC를 x축 위에 놓을 수도 있습니다. 이렇게 하면 각 점의 좌표는 A(a, b), M(c, 0), C(2c, 0)가 됩니다. 각 점의 좌표를 이렇게 했을 때 ①이 어떻게 성립하는지는 여러분이 직접 풀어보면 좋겠습니다.여기서 각 점의 좌표를 어떻게 잡는 것이 편리한지에 대해 생각해봅시다. 보통은 중점을 원점으로, 대칭축을 좌표축으로 잡는 것이 식을 간단히 하는 데 편리합니다.이러한 방법은 누가 어떻게 알아냈을까요? 첫 번째 방법을 유클리드(B.C. 325?~B.C. 265?)의 유클리드 기하학, 두 번째 방법을 데카르트(1596~1650)의 해석기하학이라고 합니다. 이 내용도 여러분이 직접 조사해서 확인해보면 좋겠습니다.
홍창섭 경희여고 교사 이 내용은 고등학교 1학년 수학 과목의 ‘도형의 방정식’ 단원과 관련이 있습니다. 이 단원을 통해 도형 문제에서 좌표를 이용하는 방법에 대해 알아보고, 도형 문제는 좌표를 이용하는 것이 유용함을 인지하길 바랍니다.