서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 히피아스가 제시한 각의 3등분 고대 그리스부터 내려온 3대 작도 불가능 문제는 다음과 같다.
① 주어진 각을 삼등분할 수 있는가?
② 주어진 정육면체의 부피가 두 배가 되는 정육면체를 구할 수 있는가?
③ 주어진 원과 넓이가 같은 정사각형을 구할 수 있는가?
물론 작도는 눈금없는 자와 컴퍼스만을 이용해야 한다. 기원전에 제기된 문제로 수많은 수학자들이 이 문제를 해결했다고 주장했지만, 19세기에 대수적으로 작도불가능하다는 것이 증명되었다. 지난 호에서 배적 문제를 이차곡선(포물선)으로 해결한 것을 다루었는데, 이번 호에서는 각의 삼등분 문제을 다룰 것이다.
각의 삼등분 문제는 기원전 425년께 그리스 수학자 히피아스(Hippias)가 제시하였다. 주어진 선분을 삼등분할 수 있으므로 주어진 각의 삼등분도 쉽게 할 수 있을 것 같지만, 눈금없는 자와 컴퍼스만으로는 작도가 불가능하다. 수많은 사람이 이 문제를 해결했다고 주장했지만, 그 해법을 살펴보면 눈금없는 자와 컴퍼스 외에 다른 도구를 사용해 해결한 것이다. 히피아스는 원적곡선을 이용한 해법을 제시하였는데, 원적곡선이란 [그림1]에서와 같이 점 P가 A를 출발해 B까지 원을 따라 움직이고 같은 속도로 선분 QR이 선분 DC를 출발해 선분 AB까지 움직일 때, 두 선분 AP, QR이 만나는 점의 자취다. 원적곡선을 이용한 작도방법은 다음과 같다. [그림1]
① 선분 PA와 원적곡선이 만나는 점 F를 작도한다.
② 선분 FH의 삼등분선을 작도하여 점 E를 작도한다.
③ 점 E를 지나고 선분 AB에 평행한 직선을 작도하여 원적곡선과 만나는 점 G를 작도한다.
④ 직선 AG와 원이 만나는 점 X를 작도하면 각 XAB가 주어진 각의 삼등분각이 된다.
원적곡선을 그리려면 점을 하나하나 찍어야 하는데, 더 간단한 방법은 없을까? 위대한 수학자 아르키메데스는 두 점이 찍혀 있는 자를 이용해 이 문제를 다음과 같이 해결하였다. [그림2]
① A를 중심으로 자에 있는 두 점으로 결정되는 길이를 반지름으로 하는 원을 그리고 주어진 각의 반직선과 만나는 점을 B, C라 하자.
② 선분 AC를 연장하여 직선 AC를 작도한다.
③ 자에 있는 두 점 중 하나는 원을 지나고, 나머지 하나는 직선 AC를 지나도록 움직이면서 이 자가 점 B를 지날 때 직선을 그리고 이 직선과 직선 AC가 만나는 점을 D라 하자.
④ 각 BDC가 주어진 각 BAC의 삼등분각이다.
단 눈금 두 개만을 추가해 작도불가능 문제를 해결하다니 역시 천재들의 생각은 놀랍다.
■김국인 선생님
김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다.
