서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 포물선의 초점 작도하기 그리스의 수학자 아폴로니우스는 원뿔을 자를 때 단면의 모양을 타원, 포물선, 쌍곡선으로 분류하고 이 곡선이 다음 성질을 갖는다는 것을 발견하였다.
① 포물선 위의 한 점은 고정된 한 점까지의 거리와 고정된 한 직선까지 이르는 거리가 항상 같다.
② 타원 위의 한 점은 고정된 두 점으로부터 거리의 합이 일정하다.
③ 쌍곡선 위의 한 점은 고정된 두 점으로부터 거리의 차가 일정하다.
현재 고등학교 기하와 벡터 교과서에는 아폴로니우스가 발견한 성질을 원뿔곡선의 정의로 사용하고 있다. 이때 고정된 점을 초점(focus), 고정된 직선을 준선(directrix)이라고 한다. 좌표평면에 이차곡선을 표현하면 x, y에 관한 이차방정식으로 표현되는데, 이런 이유로 원뿔곡선을 이차곡선이라고 한다.
이번 호에서는 포물선의 몇 가지 성질을 소개한다. 초점을 지나고 준선에 수직인 직선을 포물선의 축, 포물선과 축이 만나는 점을 포물선의 꼭짓점이라 한다. [그림1]
눈금 없는 자와 컴퍼스로 포물선을 작도할 수는 없지만, 포물선이 주어져 있을 때 초점을 찾을 수는 있다. 이때 사용되는 다음과 같은 포물선의 성질을 사용한다.
① 포물선과 두 점에서 만나는 직선이 있을 때, 그 직선에 평행한 직선이 포물선과 만나는 교점 중점의 자취는 포물선의 축과 평행한 직선의 일부이다.
② 포물선의 축에 평행하게 들어온 빛이 포물선에 반사되면 초점으로 들어간다.
[그림2]와 같은 포물선이 주어져 있을 때 초점을 구해 보자.
(1) 먼저 성질①을 이용하여 포물선의 축과 나란한 직선을 작도하자.[그림3]
(2) 이 직선과 포물선이 만나는 점을 지나고 처음 선분에 평행한 직선을 작도하면 이 직선은 포물선의 접선이 된다.
(3) 이제 축에 나란한 직선을 접선에 대칭시킨 직선을 작도하자. 포물선의 성질②에 따르면 이 직선은 포물선의 초점을 지나야 한다. [그림4]
(4) (1)과는 다른 현을 이용하여 (1)~(3)의 과정을 한 번 더 시행한다. 이때 (3)에서 작도한 직선과 (4)에서 마지막에 작도한 직선의 교점이 초점이다. [그림5]
그렇다면 꼭짓점과 준선은 어떻게 작도할 수 있을까?
(5) 초점을 지나고 (1)에서 그은 직선과 평행인 직선을 작도하자. 이 직선이 포물선의 축이고, 축과 포물선이 만나는 점이 꼭짓점이고, 초점을 꼭짓점에 대하여 대칭인 점을 지나고 축에 수직인 직선을 작도하자. 이 직선이 포물선의 준선이다. [그림6]
