서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 더 큰 상자를 만들기
미적분을 배울 때 교과서에서 미분의 활용으로 빠짐 없이 등장하는 소재가 있는데 직사각형 모양의 종이 귀퉁이를 잘라 내고 상자를 만들 때 최대 부피를 구하는 문제이다. 이때 상자는 뚜껑이 없는 상자인데 <그림1>과 같은 방법으로 상자를 만들고 상자의 최대 부피를 구하려면 값을 어떻게 정해야 하는지, 최대 부피는 얼마인지 구해 보자. 상자의 가로, 세로의 길이를 각각 l , w 라 두면 상자의 부피는 <수식1>과 같다.
사각형의 넓이가 A 로 일정할 때, T 값을 고정하고 최대인 경우를 생각해 보면 (수식 1)인 경우이므로 상자의 부피는 <수식2>와 같이 되고(수식 2)일 때 최대 부피 (수식 3) 이다. 직사각형의 넓이를 A=144 로 정하면 상자의 최대부피는 64이다. 겹치는 부분을 줄이면 상자의 부피를 더 늘릴 수 있을 것이다. <그림2> 같은 방법으로 상자를 만들고 부피를 구해 보자. l=w=12인 경우 상자의 부피는 V(T)=T(12-T)(6-T)가 되고(수식 4)일 때 부피가 최대가 되며 최대 부피는 (수식 5)이다.
상자의 밑면을 정사각형으로 하는 사각기둥 모양의 상자를 만든다고 생각하면 (수식 6)가 되고 ,(수식 7), (수식 8)일 때 부피가 최대가 되며 최대 부피는 역시 (수식 9) 이다. <그림2>와 같은 방법으로 상자를 만들 때 최대가 되는 경우 l ,w 의 값을 구해 보자. T 값을 고정하면 부피는 <수식3>과 같으므로 (수식 10) , 즉 (수식 11) , (수식 12) 일 때 최대가 된다. 이때 상자의 부피는(수식 13)가 되고 (수식 14)일 때 부피가 최대가 되며 최대 부피는 (수식 15) 이다.
이번 호에서는 넓이가 일정한 직사각형 모양의 종이로 직육면체 모양의 상자를 만들 때 부피를 가능한 한 크게 만드는 방법에 대해 알아 보았다. 하지만 이 경우가 최대인지는 밝히지 않았는데, 부피를 더 늘릴 방법이 있는지 생각해 보자.
■김국인 선생님
김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.
