서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 두개의 원으로 그리는 하트 모양 곡선 반지름이 같은 두 원이 있는데, 그 중 한 원을 다른 원 주위로 굴릴 때 원 위의 한 점의 자취는 <그림1>과 같이 하트 모양의 곡선이 된다. 수학자들은 이 곡선을 cardioid라 부르는데, 그리스어로 ‘심장 모양’이라는 뜻이다. (번역을 염통 곡선이라고 한다.)
원의 반지름의 길이가 α일 때, 이 곡선은 <수식1>과 같이 매개화하여 나타낼 수 있고, 직교좌표계에서는 t를 소거하여 <수식2>와 같이 나타낼 수 있다. 원을 직선 위를 굴릴 때, 원 위의 한 점의 자취를 사이클로이드라 하고 원을 다른 원의 내부[외부]에서 굴릴 때 원 위의 한 점의 자취를 하이퍼사이클로이드[에피사이클로이드]라고 한다. 염통 곡선은 에피사이클로이드의 하나인데, 두 원의 반지름의 비에 따라 뾰족한 정점(cups)의 개수가 결정된다. 염통곡선은 두 원의 반지름 길이가 같으므로 정점이 하나인 에피사이클로이드이다. 염통 곡선에 대해 알려진 여러 가지 성질을 살펴보면 다음과 같다.
① 염통 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 원의 넓이의 6배, 즉 6πα²이다. (적분을 통해 <수식3>과 같이 쉽게(!) 구할 수 있다.)
② 염통 곡선의 길이는 반지름의 16배, 즉 16α이다. 역시 적분을 이용하여 <수식4>와 같이 구할 수 있다.
③ 염통 곡선위의 한 점에서의 접선은 정점과 접점을 이은 직선과 서로 수직이다.
④ 임의의 기울기에 대하여 그 기울기를 갖는 접선이 3개 존재하고, 각각의 접점을 정점과 이으면 세 선분이 이루는 각은 120º가 된다.
염통 곡선을 이용하여 다음과 같이 하트를 만들 수 있다. 한 원의 원주 위에 점을 찍고 그 중 한 점을 고정한 다음 다른 점을 지름으로 하는 원을 계속 그리면 <그림2>와 그 원으로 둘러싸인 부분이 염통곡선 모양의 하트가 된다. 또 <수식1>의 방정식을 수정하여 <그림3>과 같이 하트 모양을 만들 수도 있다. 이번 한 주 자신만의 심장 곡선을 한 번 그려보자!
■김국인 선생님
김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.
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요즘 baby shower란 단어를 여러 매체에서 볼 수 있w는데, ‘아기 목욕’이란 뜻이 아닌, ‘임신한 것을 축하하기 위해 친구들이 아기 용품을 선물하는 축하 파티’라는 의미로 쓰인 것이랍니다. 또 bridal shower는 ‘여자 친구들이 결혼 직전의 여성에게 줄 선물을 갖고 모이는 축하 파티’를 뜻하는 말이랍니다.
