서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 저상버스 출입문과 아스트로이드
저상버스는 타고 내릴 때 계단 없이 탈 수 있어 교통약자들이 이동하기에 편리하다. 저상버스의 뒷문은 안쪽으로 미끄러지며 열리는 구조로 돼 있는데 이런 문을 ‘글라이딩 도어’라고 한다. 슬라이딩 도어와 비교해 자리를 적게 차지하지만, 안쪽으로 열릴 때 문에 부딪힐 수 있으므로 조심해야 한다. 저상버스의 글라이딩 도어가 열리고 닫힐 때 문이 쓸고 지나간 부분은 어떤 모양일까?
버스 바닥을 좌표평면이라 생각하면 이 좌표평면 위에서 문은 길이가 a로 일정한 선분이 될 것이고, 선분의 한쪽 끝은 x축 위를 움직이고 다른 쪽 끝은 y축 위를 움직인다. 이때 선분이 쓸고 지나간 부분의 모양<그림1>을 구하는 문제로 바꿀 수 있다. <그림2>에서 문이 x축과 만나는 점이 (k, 0)이면 y축과 만나는 점은 (0, √a²-k²) <수식 1>로 나타낼 수 있다. 문이 쓸고 간 부분의 둘레의 곡선은 x를 고정할 대, y의 최댓값으로 이뤄진 곡선이므로 <수식1>을 k에 관해 미분하면 <수식2>와 같다.
따라서 <수식3>의 x를 <수식1>에 대입하면 <수식4>이고 <수식3과 4>에서 k를 소거하면 <수식5>가 된다. 그래프는 <그림3>과 같은 별 모양의 도형이다. 이 도형의 이름은 ‘아스트로이드(astroid)’이고 요한 베르누이와 라이프니츠가 처음으로 연구했다. 이 도형은 일전에 연구한 사이클로이드와도 관련이 있다. <그림4>와 같이 원 내부에서 작은 원이 구를 때 작은 원 위의 한 점의 자취를 ‘하이퍼사이클로이드’라 하는데, 작은 원의 반지름(r)과 큰 원의 반지름(R)의 비가 1:4일 경우 하이퍼사이클로이드는 뾰족한 점이 4개인 아스트로이드가 된다.
아스트로이드를 θ로 매개화하면 <수식6>과 같이 되고 적분을 이용해 아스트로이드 내부의 넓이 S와 아스트로이드의 길이 L은 다음 <수식7과 8>같이 구할 수 있다. ■김국인 선생님
김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - Adam’s apple·Baker’s dozen…유래를 알면 더 재미난 표현들
미드 [프렌즈]의 주인공 ‘조이’가 맘에 드는 여성을 만났지만, 그녀의 ‘Adam’s apple’이 너무 커서 결국 포기할 수밖에 없었다는 에피소드가 있습니다. 그런데 여기서 ‘Adam’s apple(아담의 사과)’은 무슨 뜻일까요?
