서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 미분과 적분의 오작교
미적분학은 극한, 함수, 무한급수, 미분, 적분 등을 다루는 수학의 한 분야다. 미분은 어떤 지점에서 접선을 구하는 문제인데, 이를 이용해 복잡한 함수를 선형으로 근사해 다루기 쉬운 형태로 파악할 수 있다. 적분은 넓이를 구하는 문제로, 국소적으로 구한 넓이의 합을 이용하는 구분구적법이 모태가 된다. 기울기를 구하는 미분과 넓이를 구하는 적분은 완전히 다른 별개의 두 개념이지만 밀접한 관련을 갖는데 미적분학의 기본정리가 그에 대한 내용이다. 견우와 직녀가 칠월 칠일 칠석날 오작교를 건너 만나듯 미분과 적분은 미적분학의 기본정리(FTC)를 통해 만나게 되는 것이다. 함수 f(x)와 x축, 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 부분의 넓이를 구분구적법으로 구하면 [수식1]과 같다. 함수 f(x)가 [a, b]에서 연속이면 [수식 1]의 무한급수는 수렴하는데, 이때 값을 a에서 b까지 함수 f(x)의 정적분이라고 하고 기호로 [수식2]로 나타낸다.
함수 f(x)를 적분하려면[수식1]의 무한급수의 합을 구하면 되는데, 단순히 넓이를 구하는 문제에서 발전해 수학자들은 넓이의 변화에 관심을 갖게 된다. [수식 3]으로 넓이 함수를 정의하면 f(x)가 [a, b]에서 연속인 경우 S(x)는 미분가능하고 S’(x)=f(x)이다. 이것이 첫번째 미적분학의 기본정리이다. [수식 4]
필자는 수학책에 나오는 여러 수식 중 가장 아름다운 수식이라 생각한다. 미분과 적분의 관계에 관한 설명이기 때문이다. 적분한 함수를 미분하면 원래 함수가 된다. 즉 미분과 적분이 서로 역연산 관계로 만나게 되었다. 다음으로 두 번째 미적분학의 기본정리를 만나 보자.
F’(x)=f(x)인 F(x)를 f(x)의 원시함수라 하는데 S’(x)=f(x)이므로 S(x)=F(x)+C(C는 적분 상수)이다. [수식3]에 x=a를 대입하면 S(a)=0이므로 C=-F(a)이다. 즉 S(x)=F(x)-F(a)이므로 S(b)=F(b)-F(a)이다. 이것이 두 번째 미적분학의 기본정리이다. [수식 5]
이 공식 덕분에 정적분을 구하기 위해 [수식1]의 무한급수의 합을 구하는 고통으로부터 벗어날 수 있게 된다. 무한급수의 합을 구하는 대신 원시함수를 구하고 원시함수에 값을 대입하는 것으로 정적분의 문제가 해결되는 것이다. 정적분 문제를 풀며 계산이 많다고 화내지 말고 이 계산이 가능하다는 사실에 감격하자!
■김국인 선생님
김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.
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