하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 복잡한 수식없이 수의 합 단번에 구하기
독일 수학자 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss·1777~1855)가 10살 때 그의 수학교사가 학생들에게 1+2+3+…+100을 구하는 문제를 냈다. 수학천재 가우스는 머뭇거리지 않고 5050이라는 정답을 말해 선생님을 놀라게 했다고 한다. 어린 가우스는 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101... 50+51=101의 패턴을 발견하고 합하여 101이 되는 50개의 쌍을 이용하여 50×101=5050의 방법으로 간단히 답을 얻었다. 이것을 그림으로 표현하면 그림 1과 같다. 위의 생각을 일반화하면 1+2+3+…(n-1)+n을 구할 때, 1+n=2+(n-1)=3+(n-2)=…n/2+(n/2+1)를 만족하는 n/2개의 쌍을 생각할 수 있으므로 1+2+3+…n=n/2×(n+1)이다. 그런데 이와 같은 방법은 n이 짝수일 때만 설명이 가능하다는 단점을 지닌다. 다음 방법은 이런 단점을 보완한 좋은 방법이다.
그림 2와 같이 1+2+3+…10을 삼각형 모양으로 배열하고 이 삼각형을 뒤집어 붙이면 가로의 길이가 (10+1)이고 세로의 길이가 10인 직사각형을 얻을 수 있고 이 직사각형을 이루는 점의 개수는 (10+1)×10이므로 1+2+3+…+10=10×(10+1)/2이다. 이를 일반화하면 수식 1.
복잡한 수식을 동원하지 않아도 간단한 그림 하나로 수의 성질을 설명하는 방법은 참 흥미롭다.
아래의 그림 3은 홀수를 차례로 n개 더할 때 1+3+5+…+(2n-1)=n²을 설명한 것이다. (a)와 같이 홀수를 차례로 L자 모양으로 배열하면 정사각형 모양을 얻을 수 있으므로 1+3+5+…(2n-1)=n² (b)와 같이 1+3+5+…(2n-1)을 1+2+3+…+n과 1+2+3+…+(n-1)의 두 개의 삼각수로 쪼개고 이것을 뒤집어 붙이면 한 변의 길이가 n인 정사각형을 얻을 수 있으므로 1+3+5+…(2n-1)=n²을 얻는다.
이와 같은 생각을 입체로 확장해보자. 1+2=3, 4+5+6=7+8, 9+10+11+12=13+24+15… 식의 맨 앞 수는 모두 제곱수인 점을 감안해서 일반화시키면 수식 2 조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행- 크리스마스 캐럴로 배우는 문법 ; santa claus iscoming to town은 '무서운' 노래?
흔히 had better를 ‘~하는 게 더 좋다’라고 번역하는데, 사실 이 표현은 무언가를 하지 않았을 경우 너에게 안 좋은 일이 생길 수도 있다는 협박(?)의 의미를 담고 있습니다. 예를 들어, 밤새 게임을 하는 경우 “너 당장 방에 가서 자는 게 좋을 걸?”의 뉘앙스라고 보시면 됩니다. 따라서 santa claus is coming to town은 미취학 아동들에게는 정말 무서운 노래인데, 가사를 보면 충격을 금할 수 없습니다.
You better watch out (넌 조심하는 게 좋을 거야)
