하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - '점·직선 사이 거리'의 증명
한 점 P(x₁,y₁)에서 직선 ℓ:ax+by+c=0에 이르는 거리는 수식 1 임을 잘 알고 있다. 허나 이 공식을 자연스럽게 잘 사용하는 수학 실력이 좋은 학생들조차 이 공식의 유도과정을 설명해보라는 질문에는 무척 난감해한다. 실제로 공식을 유도하는 과정이 만만치 않을 뿐 아니라 교과서를 찾아보아도 설명 방식이 복잡하고 딱딱해 관심을 두기 쉽지 않다. 교과서에 소개된 방법에 비해 간단하고 흥미로운 증명방법을 몇 가지 소개한다.
방법 1. 벡터의 내적 이용
직선 ℓ:ax+by+c=0에서 벡터(a,b)는 직선 ℓ에 수직인 방향의 벡터임을 이용하자. 그림과 같이 직선 위의 한점 A(x₂,y₂)와 직선 위에 있지 않은 점 P(x₁,y₁)에 대해 수식 2 라 하면 수식 3 즉 두 벡터의 내적의 절대값이 곧 구하는 거리 d가 된다. 수식 4
A(x₂,y₂)는 직선 ax+by+c=0 위의 점이므로 ax₂+by₂=-c 이다. 이것을 ①에 대입하여 정리하면 수식 5 를 얻는다. 이와 같은 생각을 공간으로 확장하면 점과 평면사이의 거리 수식 6 도 어렵지 않게 얻을 수 있다.
방법 2.코시-슈바르츠 부등식 이용
점 P(x₁,y₁)와 직선 ℓ위의 점 A(x₂,y₂)에 대해 선분 PA의 최소값이 곧 구하는 거리 d이므로 PA의 최소값을 구한다. 다음과 같이 코시-슈바르츠 부등식을 이용해보자. 수식 7 A(x₂,y₂)는 직선 ax+by+c=0 위의 점이므로 ax₂+by₂=-c 이다. 이것을 ②에 대입하여 정리하면 수식 8 을 얻을 수 있다. 여기서 등호는 수식 9 일 때 성립함을 알 수 있는데 이는 직선과 수직으로 만날 때를 의미한다.
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행-손·발에도 재미있는 영어가 숨어있네…hour hand,factory hands,finger man…
cost arms and legs는 무슨 뜻일까요? 우선 이 표현을 설명하기 전에 give one’s ears와 pay through the nose란 표현 기억하시나요? 각각 귀와 코가 잘릴 정도로 ‘엄청난 대가를 치르다’란 뜻인데, cost arms and legs 역시 ‘팔과 다리’의 값을 치를 정도로 ‘엄청나게 비싸다’라는 의미로 사용되는 표현입니다. 이처럼 영어에는 우리의 신체 부위와 관련된 표현이 정말 많답니다.
지난 시간에는 ‘손과 발’에 해당하는 어원을 중심으로 표현을 살펴봤다면, 이번 시간에는 hand와 finger가 들어가는 표현에 대해 알아보도록 하겠습니다. 우선 우리가 가장 많이 사용하는 신체 부위 중 하나인 손은 정말 다양한 뜻으로 사용되는데, 일단 시곗바늘이란 뜻으로도 많이 쓰인답니다. 그래서 시침은 hour hand, 분침은 minute hand, 그리고 초침은 second hand라고 하지요.
또 우리나라에서도 ‘일손’이란 표현을 쓰듯이 영어에서도 factory hands는 ‘공장 직원’을 뜻하고, farm hands라고 하면 ‘농부’를 가리킨답니다. 또한 ‘승무원’이란 뜻도 있어서 All hands on deck이라고 하면 ‘(승무원) 전원 갑판에 집합’이란 뜻이 되는 것이지요.
