하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 게임이론 속 수리논술
수학의 한 분야이자 미시경제학의 이론이며 물리학, 생물학에서 많이 응용되는 ‘게임이론’은 대입 수리 논술 시험의 소재로도 자주 등장한다. 수리논술 시험에서는 게임이론에 관련된 기본적 개념을 먼저 제시문에서 설명하고 그와 관련된 논제를 제시한다. 수리논술 준비를 위해 게임이론을 깊이 있게 공부할 필요는 없다. 다음의 예를 통해 게임이론이 적용된 수리논술 문제를 연습해보자. 집단생물학(population biology)은 동물들이 어떤 자원을 놓고 서로 공격이나 도주의 전략을 사용하면서 다툰다고 가정한다. 같은 종에서 공격적인 동물을 ‘매’라 하고 양보하는 동물을 ‘비둘기’라고 하자. 공격적인 매 2마리가 만나면 둘 다 다칠 때까지 싸우므로 어느 1마리가 먹이를 차지하게 되더라도 결국 모두 지는 셈이다. 비둘기 2마리가 만나면 둘 다 공격적인 몸짓을 조금 하다가 도망갈 것이고 어느 놈이든 더 늦게 도망가는 놈이 먹이를 차지하게 될 것이다. 매와 비둘기가 만나면 무조건 비둘기는 도망을 가서 매는 비용을 들이지 않고 바로 먹이를 차지한다. 표는 매와 비둘기가 각각의 상황에서 차지하게 되는 이득을 나타낸 것이다.
논제1 : 을의 전략이 주어져 있을 때, 갑이 전략을 바꾸어서 갑의 부를 증가시키지 못한다면, 갑은 전략을 바꿀 유인(incentive)이 없다고 한다. 마찬가지로 갑의 전략이 주어져 있을 때, 을이 전략을 바꾸어서 을의 부를 증가시키지 못한다면, 을이 전략을 바꿀 유인이 없다고 한다. 서로 전략을 바꿀 유인이 없을 때 우리는 이를 균형이라 부르자. 이 게임에서는 2개의 균형이 존재한다. 이 균형을 찾아라.
논제2 : 같은 종에서 매와 비둘기의 비율이 어떻게 유지될 때, 균형이 만들어지는지 그 비율을 구하라.
<해설>
논제 1. 한 쪽이 매의 행동을 하고 한 쪽이 비둘기의 행동을 하는 경우가 균형이 된다. 예를 들어 갑이 매의 행동을 하고 을이 비둘기의 행동을 하는 경우에 갑은 비둘기의 행동으로 바꾸면 이익이 14에서 5로 줄어 전략을 바꿀 유인이 없다. 또한 을도 매의 전략으로 바꾸면 9에서 25로 줄기 때문에 전략을 바꿀 유인이 없으므로 균형상태다.
논제 2.한 종족 안에서 매의 성향을 가지는 개체들의 비율을 p(0≤p≤1)라고 하고 비둘기의 성향을 가지는 개체들의 비율을 1-p라고 하면 각 개체가 매의 행동과 비둘기의 행동을 할 때, 이익의 기댓값은 아래 표와 같다. 두 성향에서 이익의 기댓값이 같을 때 균형이 생기므로 -39p+14=-14p+5. 즉, p=0.36일 때 균형이 생긴다.
전체 집단 중 매의 비율이 36% 미만이면 매의 이익이 더 커서 매의 행동을 하는 개체가 늘어난다.
하지만 매의 비율이 36%를 넘게 되면 비둘기의 이익의 기댓값이 더 커져서 비둘기의 행동을 하는 개체가 늘어나게 된다. 이런 과정이 되풀이된 후 최종적으로 매와 비둘기의 행동을 하는 개체수의 비율은 36 대 64의 비율로 정착된다.
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
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