하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 두 점 사이의 거리
거리란 어떤 사물들이 서로 얼마나 떨어져 있는가를 수치로 나타낸 것이다. 한 점에서 다른 한 점으로 이동하는 데 움직인 경로 길이의 최솟값을 두 점 사이의 거리라고 약속하자. 두 점 사이의 거리를 구할 때 좌표를 이용하면 매우 편리하다. 1. 직교좌표에서 두 점 사이의 거리 - 피타고라스 정리 이용
좌표평면 위의 두 점 P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂)가 주어져 있을 때 삼각형 PQH가 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 두 점 사이의 거리 d는 다음과 같다. 수식1 이와 같은 기하의 기본 개념이 때에 따라서 복잡해 보이는 대수 문제를 푸는 데 간단한 해결책이 되어주기도 한다. 다음 문제를 통해 연습해보자.
<문제>
문제 수식 1 의 최소값을 구하시오
<해설> 주어진 식은 무리식일 뿐 아니라 변수도 2개나 되어 최솟값을 구하는 데 사용하는 일반적인 방법(예를 들어 미분)을 이용해 해결하기는 어렵다. 하지만 주어진 식의 의미를 기하학적으로 해석하면 아주 간단하게 해결된다. 즉문제 해설 수식 점(x,y)에서 두 점 (1,2) (3,5)에 각각 이르는 거리로 해석하면 주어진 식은 점(x,y)에서 두 점(1,2) (3,5)에 이르는 거리의 합을 의미한다. 즉, 점(x,y)가 두 점(1,2) (3,5)을 잇는 선분 상에 있을 때 d₁+d₂는 최소가 된다. 즉 d₁+d₂의 최소값은 해설 수식 2 이다.
2. 바둑판 모양의 도로망 위에서 두 점 사이의 거리 - 택시 거리
그림과 같이 도로가 바둑판 모양으로 형성돼 있는 길을 따라 점 P에서 점 Q까지 택시를 타고 이동한다면 실제 움직인 거리 d는 수식 2 이다. 이와 같은 방법으로 정의되는 택시 거리는 유클리드 거리(위의 1번과 같은 정의)에 비해 얼핏 복잡해 보이지만 실제 생활에 쓰임새가 아주 많다. 예를 들어 소방서나 경찰서와 같은 공공기관은 관할구역 내에서 최단거리에 위치하도록 하는 게 좋으므로 도시를 계획할 때 이런 방법으로 거리를 계산해 위치를 정하는 것이 좋다. 내비게이션의 최단거리 산출도 이런 택시기하학에 뿌리를 두고 있다. 택시거리 개념을 이용해 중심이 원점이고 반지름이 3인 원을 그려보자.
반지름의 길이가 3이므로 택시평면 위에서 원은 ｜x｜+｜y｜= 3 만족시키는 점 (x,y)의 집합이다. 그림은 이 식을 만족시키는 점의 집합을 택시평면 위에 나타낸 것으로 택시원은 우리가 알고 있는 원이 아니고 두 대각선의 길이가 같은 마름모 모양의 정사각형이다.
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
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