하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 불사조 같은 '카프리카의 불변수'
인도 어느 지역에 있는 철도 선로 옆에 3025㎞라고 쓰인 이정표가 있었다. 어느 날 심한 폭풍우로 이 이정표가 쓰러지면서 두 동강이 났다. 그래서 이정표에 쓰여 있던 3025가 정확히 절반으로 잘려 30과 25로 나뉘게 되었다. 마침 이곳을 지나던 인도의 수학자 카프리카는 쓰러진 이정표의 두 숫자를 보고 30+25=55이고 55=3025라는 사실을 발견했다. 수를 반으로 나누어 더한 후에 제곱하면 원래의 수가 되는 재밌는 사실을 발견한 것이다. 그 후로 사람들은 이와 같이 아무리 없애려 해도 계속 살아나는 불사조 같은 수를 가리켜 이를 발견한 수학자의 이름을 붙여 ‘카프리카 상수’ 혹은 ‘회생숫자’라고 불렀다. 다음 규칙을 따라 계산하다 보면 재밌는 경험을 하게 된다.
① 0부터 9까지 숫자 중에서 서로 다른 2개의 숫자 a, b (단, a>b)를 정한다. ② 이 숫자를 크기순으로 배열해 2자리의 숫자 10a+b, 10b+a를 2개 만든다. 처음 선택한 2개의 숫자 a, b가 서로 다르므로 10a+b, 10b+a도 서로 다른 숫자다. ③ 큰 수에서 작은 수를 뺀다. ④ 나온 숫자를 이용해 다시 ②의 과정처럼 2개의 숫자로 만들어 빼주는 과정을 반복한다. ⑤ 반복하는 과정에서 처음에 택한 숫자 a, b에 관계없이 일정한 숫자 9가 나온다.
예를 들어 1과 5를 선택하면 51과 15를 만들 수 있다. 다음에 이 두 자리 수의 차를 구하면 36이다. 36에서 다시 두 수 63과 36을 생각하고 두 수의 차를 구하면 27이다. 마찬가지로 같은 과정을 반복해 72와 27의 차 45를 얻고 여기서 만든 두 수 54와 45의 차를 구하면 9이다. 다른 수를 택해도 마찬가지의 결과를 얻는다. 왜 이런 현상이 생기는 것일까? 이유는 수의 모양 10a+b 와 10b+a에서 찾을 수 있다. a＞b일 때, 10a+b-(10b+a)=9(a-b)는 10a+b보다 작은 9의 배수임을 알 수 있다. a-b≤9이므로 정확하게 9(a-b)는 81 이하의 9의 배수다. 그런데 9의 배수인 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81에 대해서 앞에서와 같은 과정을 반복하면 다음과 같은 패턴을 반복하게 되고, 어떤 경우에도 차이가 9가 되는 결과가 나오게 되는 것이다.
(09,90)→(81,18)→(63,36)→(27,72)→(45,54)→(09,90)
네자릿수(한 가지 숫자로만 이뤄진 수는 제외, 예를 들어 1111과 같은 수는 제외)를 가지고 위의 과정을 반복해 보라. 예를 들어 1234의 네자릿수를 가지고 위의 과정을 반복하다 보면 6174가 얻어지는데 6174로 이 과정을 다시 실행하면 6174가 다시 나오게 된다.
카프리카 상수는 두 자리 숫자에서는 위에서 보았듯이 9의 배수 모두가 카프리카 상수이고 네자릿수 이에서는 6174가 존재한다. 다섯 자리 이상의 수에서는 카프리카 상수가 존재하지 않는다고 알려져 있는데 그 이유는 아직 증명되지 않았다.
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 '개념+유형 시리즈' 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행- Misery loves company…불행은 회사를 좋아한다고?
Misery loves company는 무슨 뜻일까요? 설마, ‘불행은 회사를 좋아한다’라고 생각하시는 분은 없겠지요?
company가 ‘회사’라는 뜻을 가질 때는 보통 ‘셀 수 있는 명사’로 구분하기 때문에, 이때는 ‘친구’ 정도로 생각하는 것이 맞습니다. 제가 예전에도 한 번 설명 드렸듯이, [com(함께)+pany(빵)을 먹는 사람들]이라서, ‘친구’나 ‘회사’라는 뜻을 갖게 된 것입니다. 우리나라에서도 ‘한솥밥’을 먹는다는 표현을 쓰잖아요.
