하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 아폴로니우스의 타원
‘두 점에 이르는 거리의 합이 일정한 점들로 이루어진 곡선을 타원이라고 하고 이 두 점을 타원의 초점이라고 한다.’ 고등학교 교과서에 쓰여진 타원의 정의다. 이 정의는 무척 딱딱하게 느껴질 뿐만 아니라 정의를 만족하는 도형의 모양이 좀처럼 머릿속에 잘 그려지지 않는다. 이와 대조적으로 원뿔을 모선보다 작은 기울기로 자를 때 생기는 단면의 모양으로 타원을 정의한 ‘아폴로니우스의 방법’은 타원에 대한 직관적 느낌을 훨씬 더 강하게 준다. 하지만 이 두 가지 정의는 겉으로 보기에 서로 관련이 없어 보인다. 이 두 가지 정의가 결국 같은 얘기라는 것은 수학적으로 확인할 가치가 있다.
그림과 같이 원뿔을 모선보다 작은 기울기로 자를 때, 자르는 평면과 원뿔에 동시에 접하는 두 개의 구(당드랑의 구·Danderin·1794～1847)를 이용하면 설명이 쉬워진다. 증명은 다음과 같다. 이 두 개의 구가 절단 평면과 접하는 접점을 각각 F, F'이라 하자. 자른 면 위의 임의의 점을 P라 하고 점 P에서 원뿔의 꼭짓점을 이은 직선과 두 구가 접하는 점을 각각 Q, R이라 하자. 구의 접선의 길이는 모두 같으므로 수식 1 . 따라서 점 P는 F, F'를 초점으로 하는 타원 위의 점이다.
타원은 여러 가지 방법으로 그 모양을 직접 만들 수 있는데 오늘은 그중에서 제일 간단한 방법을 소개한다. 독자 여러분도 이 방법을 따라 타원을 직접 만들어보기 바란다. 그리고 이렇게 만들어지는 도형이 타원의 정의에 들어맞는지 수학적으로 증명해보기 바란다. (1) 그림과 같이 원 모양의 종이를 준비하여 원의 내부에 임의로 점을 한 개 찍는다.
(2) 종이를 접어 점이 원 둘레 위에 놓이도록 접었다 편다.
(3) 점을 지나는 원의 위치를 바꾸면서 여러 번 종이를 접었다 펴는 ②의 과정을 반복한다.
그림과 같이 원의 중심을 O, 임의로 찍은 한 점을 A, 종이를 접었을 때 점 A 와 포개어지는 원 위의 점을 A'이라고 하면 접은 선은 AA'의 수직이등분선이다.
접은 선과 원의 반지름 OA'의 교점을 P라고 하면 수식 2 즉, 접은 선에 따라 점 A'과 P의 위치가 달라지지만 점 P에서 두 점 O와 A에 이르는 거리의 합의 값은 원의 반지름의 길이로 일정하다. 즉, 점 P의 자취는 두 점 O와 A를 초점으로 하는 타원이다. 이번 호에서는 타원의 수학적 정의에 관한 얘기를 다뤘다. 다음 호에서는 타원의 광학적 성질에 대해 알아보도록 한다.
조계성
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
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