하나고 조계성 쌤의 재밌는 수학세계 - 타율 계산은 ‘바보 셈’으로
타율은 어떤 타자가 안타를 얼마나 잘 치는지를 나타내주는 좋은 지표다. 예를 들어 어제까지 12번의 타석에서 3번의 안타를 쳤다면 이 타자의 타율은 3/12=0.25 즉, 2할5푼이다. 이 타자가 오늘 5번의 타석에서 1개의 안타를 쳤다면 오늘의 타율은 1/5=0.2로 2할이다. 그렇다면 이 선수의 지금까지 총 타율은 어떻게 계산해야 할까?
수식1과 같이 계산되어 이 선수의 타율은 2할3푼5리가 된다.
잠깐 분수의 덧셈은 수식2의 방법으로 계산해야 하는 것 아닌가? 하지만 이렇게 계산하면 2할5푼을 치던 타자가 오늘 그보다 못한 2할을 쳤는데 합산한 결과는 갑자기 4할5푼으로 엄청나게 높아져버리는 우스꽝스러운 결과가 나온다. 이처럼 타율을 계산할 때는 분모는 분모끼리 더하고 분자는 분자끼리 더하는 ‘바보 셈’을 따라야 한다. 이런 바보 셈을 이용해 특별한 수학을 만들 수 있는데 페리수열이 그 대표적인 예다. 페리수열이란 0과 1 그리고 그 사이에 있는 분모가 어떤 자연수 n을 넘기지 않는 기약분수를 오름차순으로 나열한 수열을 말한다. 수학적으로 정의하면 다음과 같다.
수식3을 만족하는 h/k를 오름차순으로 나열한 수열. 예를 들어 5번째 페리 수열 수식4이다.
위의 그림은 페리수열 F(1)부터 F(3)까지 차례로 늘어놓은 것이다.
페리 수열의 연속된 두 항을 순서대로 a/b, c/d 라고 할 때, 두 항의 차는 수식5가 돼 bc - ad = 1이다. 이 사실을 이용하면 페리수열에서 바보 셈이 성립함을 쉽게 확인할 수 있다. 연속된 세 항을 a/b, p/q, c/d 라고 하면
수식 6 ① - ②에서 p(b+d) = q(a+c) 이다. 이 식의 양 변을 q(b+d)로 나누면 p/q = a+c / b+d.
페리수열은 이 밖에도 여러 가지 흥미로운 수학적 특성을 가지고 있어 오늘날에도 연구가 계속되고 있다. 초등학교 시간에 옳지 않다고 배운 바보 셈이 수학의 한 분야로 자리 잡을 수도 있다는 것은 많은 점을 시사한다. 이처럼 수학은 모두가 틀렸다고 생각하는 시스템 속에서도 나름의 논리 체계를 가지고 새로운 방식으로 전개될 수 있는 유연한 학문이다.
조계성
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
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