하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 자연의 섭리가 숨어있는 ‘피보나치 수’

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 24, 34…과 같이 ‘이웃하는 두 항의 합이 그 다음 항의 값과 같다’는 규칙으로 진행되는 수열을 피보나치 수열이라고 한다. 이는 ‘피사의 레오나르도 다빈치’라 불리는 이탈리아 수학자 레오나르도 피보나치에 의해 처음 제기됐는데 따져볼수록 다채로운 자연현상이 그 안에서 나타나는 신비로운 수열이다.

신의 비율인 황금비를 만들어 내는 이 수열은 꽃잎 수, 잎차례, 소라의 나선구조와 같은 아름다운 생물체를 비롯해 피라미드와 파르테논신전, 레오나르도 다빈치와 미켈란젤로의 미술작품과 같은 아름다운 작품 속에서도 흔하게 발견된다. 먼저 피보나치 수열에 관한 대표 문제를 풀어보자. 다음은 피보나치가 1202년 자신의 책 산반서(Liber Abaci)에 소개한 문제다.

가. 첫 달에는 새로 태어난 토끼 한 쌍만이 존재한다. 나. 두 달 이상 된 토끼는 번식 가능하다. 다. 번식 가능한 토끼 한 쌍은 매달 새끼 한 쌍을 낳는다. 라. 토끼는 죽지 않는다.

위의 규칙을 따라 토끼 수가 증가할 때 12개월이 되면 토끼는 총 몇 쌍이 될까? 첫 달에는 새로 태어난 토끼 한 쌍이 있고, 두 번째 달에는 그대로 토끼 한 쌍, 세 번째 달부터 이 토끼 한 쌍이 새끼를 낳게 되어 토끼가 2쌍이 되고, 네 번째 달에는 3쌍, 다섯 번째 달에는 5쌍이 된다.

이때 n번째 달에 F(n)쌍의 토끼가 있었고, 다음 n+1번째 달에는 새로 태어난 토끼를 포함해 F(n+1)쌍이 있었다고 하자. 그러면 그 다음 n+2번째 달에는 F(n)+F(n+1)쌍의 토끼가 있게 된다. 이는 n번째 달에 살아있던 토끼는 충분한 나이가 되어 새끼를 낳을 수 있지만, 바로 전달인 n+1번째 달에 막 태어난 토끼는 아직 새끼를 낳을 수 없기 때문이다. 위의 생각을 정리하면 F(n+2)=F(n+1)+f(n)으로 표현 가능하고 각 달에 존재하는 토끼 수를 계산하면 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…이다. 즉, 12개월째 들어서게 되면 144쌍의 토끼가 존재하고 12개월이 지나면서 233쌍이 된다. 실로 엄청난 번식력이다. 해마다 전국의 고등학생이 치르게 되는 대학수학능력시험 모의평가에서도 피보나치수열을 소재로 한 문제가 여러 번 출제 되었는데 다음은 그 대표적인 예이다. 각자 답을 구해보기 바란다. A B C 세 사람은 아래와 같은 규칙으로 전자우편을 보내기로 하였다.

가. A는 B에게만 보낸다. 나. B는 A와 C 모두에게 한 통씩 보낸다. 다. C는 A와 B 모두에게 한 통씩 보낸다.

아래 그림과 같이 B부터 전자우편을 보내기 시작한다. [1단계] [2단계] [3단계]에서 A가 받은 전자우편의 개수를 각각 α₁, α₂, α₃라 할 때 α10을 구하시오(예를 들면 α₃=2 이며 전자우편의 개수와 용량은 제한하지 않는다).

문제를 해결하는 방식은 위의 토끼 문제와 마찬가지이고 답은 55이다. 다음 호에서는 자연현상 속에 나타나는 피보나치수열에 대해서 알아보도록 하자.

조계성

조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다. 배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 신들에게 배우는 영어 (2) 美의 신 ‘비너스’

밤하늘을 아름답게 수놓는 행성들도 다 그리스, 로마 신들의 이름에서 온 거란 걸 알고 계셨나요. 신들의 이름을 통해 어려운 행성 이름들도 이제는 쉽게 배울 수 있습니다.

공전 주기가 가장 짧은 수성은 날개달린 신발을 신은 [전령의 신] 헤르메스(Hermes)의 이름에서 따왔습니다. 헤르메스가 로마로 가면 메르쿠리우스(Mercure)가 되는데, 그래서 영어로 수성을 머큐리(Mercury)라고 합니다. 같은 이유로, 상온에서 가장 빨리 액체로 변하는 금속도 머큐리(Mercury)라고 하지요. 태양계에서 가장 아름다운 행성 금성은 [미의 신] 아프로디테(Aphrodite)의 이름에서 따왔습니다. 아프로디테(Aphrodite)가 로마로 가면 웨누스(Venus)가 되는데, 그래서 영어로 금성을 비너스(Venus)라고 합니다.

붉게 빛나는 별 화성은 [전쟁의 신] 아레스(Ares)의 이름에서 따왔습니다. 아레스(Ares)가 로마로 가면 마르스(Mars)가 되는데, 그래서 영어로 화성을 마스(Mars)라고 합니다. 참고로 3월이 March인 이유는 전쟁을 위해 행군하는 달이기 때문입니다. 그래서 결혼 행진을 wedding march라고 하는 것이지요.

태양계에서 가장 큰 별 목성은 [신중의 왕] 제우스(Zeus)의 이름에서 따왔습니다. 제우스(Zeus)가 로마로 가면 유피테르(Jupiter)가 되는데, 그래서 영어로 목성을 주피터(Jupiter)라고 합니다.

토성은 유일하게 로마 신 이름에서 따온 행성입니다. 원래 그리스에서는 그들이 알고 있는 행성중에 가장 느려 [시간의 신]인 크로노스(Cronos)의 이름을 붙였지만, 로마로 가면서 [농업의 신]인 사투르누스(Saturne)의 이름을 붙이게 되었고, 그래서 영어로 토성을 새턴(Saturn)이라고 합니다.

천왕성은 토성의 그리스 이름인 크로노스(Cronos)와 연관이 있는데, 토성 크로노스(Cronos)가 아들인 목성 주피터(Jupiter)에게 쫓겨난 것처럼 천왕성 우라노스(Uranus) 역시 토성에게 쫓겨났다고 상상한 그리스인들에 의해서 (실제로 목성-토성-천왕성 순으로 태양에서 멀어지기 때문에) [하늘의 왕] 우라노스(Uranus)의 이름을 붙이게 된 것입니다. 우라노스(Uranus)가 로마로 가면 우라노스(Ouranos)가 되는데, 그래서 영어로 천왕성을 우라누스(Uranus)라고 합니다. 녹색 빛이 감도는 푸른 행성. 그래서 바다를 떠올리게 하는 해왕성은 [바다의 신] 포세이돈(Poseidon)의 이름에서 따왔습니다. 포세이돈(Poseidon)이 로마로 가면 넵투누스(Neptunus)가 되는데, 그래서 영어로 해왕성을 넵툰(Neptune)이라고 합니다.

끝으로, 그리스의 [지옥의 신](명왕) 하데스(Hades)가 로마로 가면 플루톤(Pluton))이 되는데, 그래서 명왕성이 영어로 플루토(Pluto)이고, 핵무기 재료가 되는 원소 이름도 플루토늄(Plutonium)이 되는 것입니다. 또한 하데스는 땅속에 매장되어 있는 금과 은의 소유자로서, 부의 신이기도 합니다.

배시원

배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.