하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - Bertrand's paradox (베르트랑의 역설)
1889년 프랑스의 수학자 조제프 베르트랑은 그의 저서 Calcul des probabilites (확률론)에서 접근하는 관점에 따라 1/2, 1/3, 1/4 로 제각각 서로 다른 답이 얻어지는 알쏭달쏭한 문제를 소개했다. 베르트랑의 문제는 다음과 같다.
“원에서 임의의 현을 생각하자. 이 현의 길이가 원에 내접하는 정삼각형의 한 변의 길이보다 클 확률을 구하라.”
위 문제에 대해 각자 1/2, 1/3, 1/4 과 같은 답이 생기는 각각의 이유를 설명하고 결론적으로 이 문제가 가지고 있는 본질적인 문제점에 대한 자신의 생각을 노트에 써보길 권한다. 수리논술시험 대비에 좋은 연습이 될 것이라고 생각한다. 다음과 같은 세 가지 풀이 방법을 생각할 수 있다.
(1) 현과 원의 중심 사이의 거리를 무작위로 놓는 방법(random radius)
[그림 1]과 같이 삼각형의 한 변과 평행한 임의의 현을 생각하자. 이 경우 현이 변보다 안쪽에 있을 때 현의 길이가 정삼각형 변의 길이보다 크다. 원의 내접 정삼각형의 변은 반지름을 이등분하므로 구하는 확률은 p=1/2.
(2) 현의 종점을 무작위로 놓는 방법(random endpoint)
[그림 2]와 같이 현의 시작점을 정삼각형의 한 꼭짓점으로 하는 임의의 현을 생각하자. 이 경우 현이 시작점과 마주보는 정삼각형의 변을 지날 때 현의 길이가 정삼각형의 한 변의 길이보다 크다. 이 조건을 만족하기 위해서는 현과 시작점에서의 원의 접선이 이루는 각도가 60°~120° 가 되어야 한다. 현이 시작점의 접선과 이룰 수 있는 각도는 0°~ 180°이므로 구하는 확률은 p= 120°- 60°/ 180°- 0 = 1/3
(3) 현의 중점을 무작위로 놓는 방법(random midpoint)
[그림 3]과 같이 정삼각형에 내접하는 원을 그린다. 삼각형의 한 변보다 긴 현은 안쪽 원을 지나며 현의 중점은 안쪽 원의 내부에 놓이게 된다. 즉 구하는 확률은 현의 중점이 정삼각형의 내접원의 내부에 놓일 확률과 같다. 안쪽 원의 넓이는 큰 원의 넓이의 1/4 이므로 구하는 확률은 p=1/4
위와 같이 같은 문제 상황에 대해 서로 다른 확률이 얻어지는 것은 ‘임의의 현’이라는 표현이 애매하게 정의되어 있어 발생하였다. ‘임의의 현’을 긋는 방법이 구체적으로 제시될 때 확률이 정확하게 결정된다.
조계성
조계성 선생님은 현재 하나고 수학 교사다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
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