하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - '신비의 수' 142857의 비밀!
몇 년 전 프랑스의 유명 작가 베르나르 베르베르의 작품 ‘신’에 소개되면서 폭발적인 관심이 모아졌던 신비의 수 142857에 숨겨진 비밀을 찾아보자. 우선 142857이 어떤 신비스러움을 가지고 있는지 살펴보자. 계산기를 이용해 142857에 1부터 6까지 차례로 곱하고 그 결과를 서로 비교해보자. 어떤 특징이 보이는가?
142857×1=142857 142857×2=285714 142857×3=428571 142857×4=571428 142857×5=714285 142857×6=857142
흥미롭게도 142857에 1부터 6까지 곱해 만들어진 6자리 수는 원래 있던 6개의 숫자가 순환하는 모양으로 자리만 서로 바꾸어 나타난다. 이제 142857에 1부터 6까지 곱해 만들어진 6개의 6자리 수를 각각 3자리씩 끊어 더해보자. 어떤 특징이 보이는가?
142857×1=142,857 → 142+857=999 999=857+142 ← 857,142=6×142857 142857×2=285,714 → 285+714=999 999=714+285 ← 714,285=5×142857 142857×3=428,571 → 428+571=999 999=571+428 ← 571,428=4×142857
신기하게도 모두 999가 됨을 확인할 수 있다. 그런데 좀 더 자세히 들여다보면 142857에 1을 곱한 값과 6을 곱한 값의 앞뒤 3자리 수가 서로 대칭으로 나타나는 것을 볼 수 있다. 물론 2와 5를 곱한 결과와 3과 4를 곱한 결과도 각각 앞뒤 3자리 수가 대칭으로 나타남을 알 수 있다. 그렇다면 142857에 1부터 6이 아닌 1000 이하의 수를 곱해 나온 수를 뒤에서부터 3자리씩 끊어 더하면 어떻게 될까? 계산기를 이용해 임의의 수를 곱해보고 나타나는 수들로부터 특징을 직접 발견할 수 있길 바란다.
142857×7=999,999 → 999+999=1,998 142857×8=1,142,856 →1+142+856=999 142857×9=1,285,713 →1+285+713=999
142857×13=1,857,141 → 1+857+141=999 142857×14=1,999,998 → 1+999+998=1,998 142857×15=2,142,855 → 2+142+855=999
142857×965=137,857,005 → 137+857+5=999 142857×966=137,999,862 → 137+999+862=1998 142857×967=138,142,719 → 138+142+719=999
위에서 보듯이 142857에 임의의 수를 곱하면 999나 1998을 얻게 된다. 좀 더 구체적으로 얘기하면 곱한 수가 7의 배수가 아닐 때 999를 얻고 곱한 수가 7의 배수일 때 999의 두 배인 1998이 얻어진다. 그렇다면 이렇게 신비한 수 142857은 어떻게 탄생하게 되었을까? 해답은 다음과 같은 순환소수에 있다. 1/3=0.3333… 1/6=0.1666… 1/7=0.142857142857… 눈치가 빠른 사람은 벌써 느꼈을 것이다. 신비의 수 12857은 바로 순환소수 1/7의 순환마디이다. 따라서 142857에 2를 곱해 나온 수는 2/7의 소수점 이하 첫 6자리, 3을 곱했을 때 나온 수는 3/7의 소수점 이하 첫 6자리와 같다. 이들은 모두 배열순서만 다를 뿐 142857이 계속되어 나타나게 된다.
조계성
조계성 선생님은 현재 하나고 수학 교사다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
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