하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - '심슨의 역설'을 아시나요?
암환자 갑씨는 가장 권위 있다는 두 병원 중 한 곳을 선택해 치료를 받기로 했다. 다음 통계자료를 보고 갑씨는 두 병원 중 어느 곳을 선택할까?
두 병원의 생존율을 비교하면 B병원이 64%로 A병원의 58%보다 6% 높게 나타난다. 갑씨가 의심의 여지 없이 B병원을 선택하기로 결정하는 것은 자연스러워 보인다. 하지만 암환자 갑씨의 아들 을씨는 환자의 암 진행 정도에 따른 치료율에 대한 다음과 같은 통계 자료를 찾아내고 아버지에게 선택을 바꿀 것을 제안했다.
단순히 전체 환자 수에 대한 생존율을 보면 B병원이 A병원보다 높게 나타난다. 하지만 암의 진행 정도에 따라 조사한 통계자료에 의하면 말기 암환자와 초·중기 암환자를 막론하고 A병원이 B병원보다 치료 성공률이 더 높게 나타난다. 현명한 독자라면 아들의 의견에 한 표를 던질 것이다.
이처럼 하위집단에서 관찰된 관계는 하위집단이 결합됐을 때 그 관계가 바뀌어 나타날 수 있다. 이와 같이 변수를 제대로 관리하지 못해 실제와 상반된 관계가 나타나는 현상을 ‘심슨의 역설(Simpson’s Paradox)’이라고 한다.
통계 결과를 비교할 때, 흔히 부분의 값이 크면 그 값들이 합쳐진 전체의 값 또한 크다고 생각하기 쉽다. 하지만 전체 집단을 몇 개의 부분으로 나눠 통계 값을 분석했을 때, 각 부분에서 나타나는 경향이 전체에서는 나타나지 않는 경우가 있다. 부분적인 값을 비교·분석했을 때와 전체 값을 비교·분석했을 때 결과가 다를 수 있는 것이다. 이와 같은 ‘심슨의 역설’에 관한 문제는 이미 여러 대학입시 수리논술문제로 출제된 적이 있을 정도로 중요하다. 겉으로 드러난 통계 수치에 현혹돼 그릇된 판단을 하지 않고, 그 내면의 진실을 정확하게 읽어낼 수 있는 힘을 길러야 할 것이다.
조계성
조계성 선생님은 현재 하나고 수학 교사다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
민사고 고문수 쌤의 신나는 영어여행 - 영어를 공부해야 하는 3가지 이유
모든 일에는 동기 부여가 중요하다. 자발성은 상당한 효과가 있기 때문이다. 동기에는 내적동기와 외적동기가 중요한다. 외적동기는 학교나 학원에서의 영어수업시간을 제외하곤 받기가 힘들다고 가정할 때 일단 내적동기를 위해 영어가 얼마나 중요한지 얘기하고자 한다. 영어가 얼마나 많은 기회를 주는지 확신이 들면 보다 열심히 영어공부를 할 수 있다.
첫째, 대한민국의 모든 학부모 학생들이 열망하는 명문고·명문대 진학이 가능하다. 세상은 넓고 대학은 많다. 조금(진짜 조금) 과장해서 영어만 잘해도 명문고는 물론이고 국내 대학 진학만 고집하지 않는다면 소위 국내 명문대에 버금가는, 혹은 그 이상의 글로벌 대학에 들어갈 수 있다. 이 부분에 관해서는 필자의 ‘대입혁명’(2009)을 참조하길 바란다. 한마디로 한국의 학생들은 수학·과학·언어영역에서는 고교 때까지 세계 최고 수준이다. 하지만 수학 과학에 자신 없더라도 기죽지마라! 영어만이라도 제대로 하면 명문고에 들어가고, 국내 최고학부 이상의 글로벌 대학에서 공부할 수 있다.
둘째, 대학 진학 후 여러 기회를 준다. 일단 학점관리를 잘할 수 있다. 국내 대학에 진학할 경우 대부분 교재는 영어권 교재내용이라고 보면 된다. 원서를 잘 읽을 수 있고 해외논문을 리서치할 수 있는 학생이 정보력에서 앞서고 리포트를 써도 수준있게 쓴다. 원서를 볼 수 없어 번역본을 보거나 구글 번역기를 돌리는 슬픈 일은 하지 말자. 게다가 해외교환학생의 기회를 통해 선진국의 교육문화경험을 할 수 있다. 졸업 후 세계 명문 대학원 진학 또한 가능하다.
셋째, 글로벌 경쟁력에서 우위를 확보한다. 대학 졸업 후 대한민국 5000만을 넘어 60억인구를 대상으로 비즈니스를 할 수 있다. 영어를 잘하면 비즈니스 기회가 무려 100배 이상 커진다. 최근 한국 10대 기업 임원들의 학력 가운데 한 가지 놀라운 변화가 있다. 10대 기업 임원의 약 25%가 해외 대학이나 대학원을 졸업한 사람이란 점이다. 이전에는 S대가 25%였지만 지금은 패러다임이 바뀐 것이다. 자원빈국인 한국은 수출로 먹고사는 나라이므로 당연한 결과다. 세계 경제를 좌지우지하는 이스라엘을 보라! 어려서 이중 언어를 배운다. 지금 세계 노벨상 수상자의 3분의 1이 유대계다. 이중언어 국가인 싱가포르 홍콩을 보라! 조그마한 도시, 섬국가에서조차 기초사회·과학분야에서 노벨상 수상자를 배출했다.
