이승민의 재미난 수학세계 - 약수와 인수의 차이점은?
수학에서 약수와 인수는 참 중요한 용어다. 초등학교 때 배운 약수를 중학교부터 인수라고 쓴다. 소인수분해도 그렇고, 인수분해도 그렇다. 약수와 인수는 같은 개념인 것 같지만 조금은 다르다.
‘약수’에서의 약(約)은 ‘간략히 한다’는 뜻과 ‘묶고 다발 짓는다’라는 뜻이 있다. ‘묶고 다발 짓는다’라는 말을 잘 생각해보면 ‘귤 12개를 3개씩 나누어 주면 몇 사람에게 줄 수 있는가?’라는 문제에서 힌트를 얻을 수 있다. 3개씩 준다는 말은 곧 3개씩 묶어 준다는 말과 같은 뜻이므로 12÷3=4이다. 따라서 약(約)이라는 한자어에는 ‘나눗셈하다’라는 뜻이 있음을 알 수 있다. 그래서 약수를 영어로는 ‘divisor’라고 하고 ‘나누는 수’인 나눔 수를 뜻한다. 즉 약수란 어떤 수를 나머지 없이 나눌 수 있는 수를 원래의 수에 대하여 이르는 말이다.
예를 들어 15의 약수를 구해보자. 15÷1=15, 15÷3=5, 15÷5=3, 15÷15=1의 나눗셈으로 부터 15의 양의 약수인 1, 3, 5, 15를 구할 수 있다.
나눗셈은 곱셈의 역연산이므로 15÷1=15, 15÷3=5, 15÷5=3, 15÷15=1의 나눗셈식을 15=15×1, 15=3×5, 15=5×3과 같은 곱셈식으로 바꾸어 표현 할 수 있다. 이렇게 곱셈식으로 표현할 때 1, 3, 5를 15의 인수(因數·factor)라고 한다. 예를 들어 24=1×24=2×12=3×8=4×6이므로 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24는 모두 24의 약수이자 인수이고, 소수인 2, 3은 24의 소인수이다.
약수와 인수는 비슷한 개념이지만 약수가 인수보다 포괄적인 개념인 것이다. 약수는 나눗셈 관점에서 생각한 것이고, 인수는 곱셈 관점이다. 약수와 배수 관계는 서로 반대의 개념이지만 인수와 배수의 관계는 생각하지 않는다. 따라서 인수는 주어진 수나 다항식(多項式)을 몇 개의 수와 다항식의 곱으로 나타낼 때, 그 수와 다항식을 원래의 인수라고 한다.
곱셈으로 나타낼 수 있을 때 어떤 수나 다항식을 두 개 이상의 다른 수나 식의 인수의 곱의 꼴로 나타내는 것을 그 다항식을 인수분해한다고 한다. 소(素)는 본디와 바탕을 뜻하므로 모든 물질을 구성하는 기본적 요소 또는 만물의 근원이 되는, 항상 변하지 아니하는 구성 요소를 뜻하지만 수학에서는 모임을 이루는 낱낱의 가장 기본적인 요소로 소수를 의미한다.
따라서 소인수분해는 소수로 된 인수의 곱으로 분해하는 것을 말하고 이 소인수분해의 결과는 한가지로만 되는데 이를 소인수분해의 일의성이라고 한다. 또한 인수 중 소수인 것을 소인수(素因數), 숫자의 인수를 수인수(數因數), 문자의 인수를 문자인수라고 한다.
인수분해의 목적은 어떤 수나 다항식을 가장 기본적이고 간단한 조각 또는 요소의 곱의 꼴로 분해하여 어떤 성질이나 속성이 있는가를 파악하는 데 있으며 수는 소수들의 곱으로, 다항식은 더 이상 인수분해되지 않는 다항식의 곱의 꼴로 분해하는 것이다.
이승민
<재미난 수학세계> 필자인 이승민 선생님은 중앙대 수학과를 졸업한 뒤 서울 보성여고에서 11년 동안 수학교사로 재직했으며 재능방송 제작팀장, 마인드맵 인스트럭터 등을 지냈다. 교육부 디지털교과서 개발위원, 국제수학경시대회(WMC) 출제위원, 배재대 수학과 겸임교수 등을 역임했다. 현재는 화신교육그룹 연구소장을 맡고 있다.
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