이승민의 재미난 수학세계 - 알고 있던 수학개념, 적극 활용하기!
초등학교 때 배운 약수와 배수는 인수분해까지 확장되어 중학교, 고등학교의 수학에서 이차방정식부터 이차함수, 나중에는 미분, 적분까지 쓰이는 중요한 개념이다. 중요한 약수와 배수, 인수분해의 원리를 초등학교 때 배운 내용을 활용하여 알아보자. 여기서 중요한 것은 수학의 계통성과 확장성이다. 우선 “서로 다른 다섯 자연수의 합이 20이고 곱이 420인 수들을 구하여라.”라는 문제를 풀어보자. 언뜻 보기에 합과 곱이란 조건이 주어졌으니 이차방정식을 떠올릴 것이고, 그래서 두 근을 α, β라 하면 두 근의 합인 α, β=20, 두 근의 곱인 α×β=420, 따라서 이차방정식 χ²+20χ+420=0 을 세운 다음 인수분해하여 답을 구하려 할 것이다.
이 풀이는 시작이 잘 못되었다. 문제에서 서로 다른 다섯 자연수라고 하였으므로 두 수를 구하는 이차방정식을 사용할 수 없다. 우선 420을 작은 수의 곱으로 분해하여 보자. 420=42×10=6×7×10=2×3×7×10=2×3×7×2×5라는 식을 얻을 수 있지만 2가 중복이 되어 서로 다른 다섯 자연수라는 문제의 조건에 어긋난다. 중복된 2를 곱하여 4로 하면 3×4×5×7은 420이 되지만 서로 다른 다섯 자연수가 아니므로 1을 곱하면 합이 20이고 곱이 420인 서로 다른 다섯 자연수를 구할 수 있다. 이처럼 큰 수인 420을 곱으로 분해하면 쉽게 답을 구할 수 있다.
수나 식의 분해의 출발은 약수와 배수의 개념이다. 초등학교와 중학교 때는 수를 대상으로 약수와 배수를 공부했다면 고등학교 때는 식을 다루기 때문에 좀 길어진다는 것 뿐 약수와 배수, 최대공약수, 최소공배수의 개념과 구하는 과정은 수를 다룰 때나 식을 다룰 때 다 같은 이치이다.
6=2×3으로 6은 2와 3의 배수이고, 2와 3은 6의 약수라고 하는 내용을 이용하여 χ²-1=(χ+1)(χ-1)에 적용하면 (χ²-1)는 (χ+1)과 (χ-1)의 배수이고 (χ+1)과 (χ-1)은 (χ²-1)의 약수가 된다.
최대공약수나 최소공배수도 위와 같이 수를 다룰 때나 식을 다룰 때 같은 개념이다. 24와 90의 최대공약수와 최소공배수는 24=2³×3이고, 90=2×3²×5이므로 최대공약수는 양 쪽에 공통으로 들어있는 수를 다 모으면 2×3이고, 최소공배수는 양 쪽에 한 번이라도 들어 있는 것을 다 써야 하므로 2³×3²×5가 된다.
같은 내용을 식에 적용해 보면 A=(χ+1)³(χ-1), B=(χ+1)(χ-1)²(χ+2)라고 할 때, 최대공약수는 양 쪽에 공통으로 들어있는 식을 다 모으면 (χ+1)(χ-1) 최소공배수는 양 쪽에 한 번이라도 들어 있는 것을 다 써야 하므로 (χ+1)³(χ-1)²(χ+2)가 된다.
수학에서는 이와 같은 경우가 많다. 약수, 배수, 인수, 소인수분해, 인수분해 등 수와 식에 공통으로 쓰이는 용어가 많이 나올 때는 이전에 알던 뜻과 같은지 아니면 어떤 점이 다른지 비교하면서 공부하면 훨씬 쉽게 수학 공부를 할 수 있다.
이승민
<재미난 수학세계> 필자인 이승민 선생님은 중앙대 수학과를 졸업한 뒤 서울 보성여고에서 11년 동안 수학교사로 재직했으며 재능방송 제작팀장, 마인드맵 인스트럭터 등을 지냈다. 교육부 디지털교과서 개발위원, 국제수학경시대회(WMC) 출제위원, 배재대 수학과 겸임교수 등을 역임했다. 현재는 화신교육그룹 연구소장을 맡고 있다.
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언어학자들은 종종 언어를 살아 있는 생명체에 비유한다. 생명체의 개체수가 일정하지 않은 것처럼, 한 언어가 가진 단어의 수 역시 한정되어 있지 않다. 새로운 기술이 개발되며 새로운 단어가 탄생하기도 하고, 새로운 문화를 접하며 새로운 단어들이 이주해 들어오기도 하고, 한편으론 더 이상 사용되지 않는 단어는 사어(死語)가 되어 죽어버리기도 한다.
