이승민의 재미난 수학세계 - 출발점은 달라도 달리는 거리는 같다
육상경기 중에는 400m 트랙을 달리는 종목이 있다. 이 경기의 트렉은 국제표준규격 한 바퀴의 둘레 길이인 1주(周)는 [그림 1]과 같이 400m이고 두 개의 평행 직선 구간과 직사각형의 필드 바깥쪽에 반원을 왼쪽, 오른쪽에 덧붙인 반지름이 동일한 두 개의 곡선 구간으로 구성되어 있다.
이 육상경기 트랙의 직선 구간을 120m라 하고 곡선 구간인 반원 부분의 둘레의 길이를 80m라 하자. 육상경기의 트랙은 1레인부터 8레인까지 있고, 각 레인의 너비는 1m이다.
400m 육상 경기를 할 경우, 맨 안쪽에 있는 1레인이 꼭 한 바퀴를 돈 1주한 지점이 결승점이다. 불공정한 경기가 되지 않도록 곡선 구간에서 출발할 경우 안쪽 코스와의 핸디캡을 없애기 위하여 출발지점을 조정하는 스태거(stagger)로 2레인은 출발선을 약간 앞 쪽에 설정해야 한다. 그럼 얼마 정도 몇 m나 앞 쪽에 설정해야 할까? 또 3레인의 출발선은 2레인보다 몇 m 앞 쪽이어야 할까? 4레인부터 8레인 까지 출발선을 어디에 설정하면 공정한 것일까?
1레인의 한 바퀴를 도는 일주가 400m라는 것은 1레인의 중앙 부분으로 한 바퀴를 돌면 정확하게 400m라는 말이다. 직선 구간이 120m이고 곡선 구간의 왼쪽, 오른쪽 양쪽의 반원의 둘레의 길이는 160m이므로 한 쪽의 반원의 둘fp의 길이는 80m가 된다. 반원의 둘레의 길이는 (반지름)×(원주율)이므로 반원의 반지름은 (반원의 둘레의 길이)÷(원주율)이므로 80÷3.14≒25.5(m)가 된다. 2레인의 직선 구간은 1레인의 직선 구간과 같아 120m이고, 각 레인의 너비는 1m이므로 2레인의 곡선 구간의 반지름이 1m 늘어났으므로 26.5m이다.
그러므로 2레인의 반원의 둘레의 길이는 (반지름)×(원주율)이므로 26.5×3.14≒83.2(m)가 된다. 1레인의 반원의 둘레의 길이보다 3.2m가 늘어났으므로 2레인 트랙을 한 바퀴 도는 데는 1레인에 비교해서 6.4m 쯤 더 달리게 된다. 따라서 2레인의 출발선은 1레인보다 6.4m쯤 앞 쪽에 설정한다. 3레인에 대해서도 생각해 보자. 3레인의 반지름의 둘레의 길이는 2레인의 반지름의 둘레보다 1m가 더 늘어났기 때문에 27.5m가 된다. 3레인의 반원의 둘레의 길이는 27.5×3.14≒86.4(m)가 된다.
2레인과 비교하면 86.4-83.2=3.2(m)가 길어 졌기 때문에 3레인을 한 바퀴 도는 경우 2레인에 비해서 6.4m 정도를 더 달리게 된다. 1레인과 2레인의 출발점을 조정하는 거리가 똑같이 6.4m로 되어있다. 우연일까? 그렇다면 3레인과 4레인의 출발선을 알아보자. 4레인의 반원의 반지름은 28.5m이므로 반원의 둘레의 길이는 28.5×3.14≒89.5(m)가 되어 3레인과 비교하여 보면 한 쪽 반원에서 3.1m씩 차이가 있으므로 한 바퀴를 도는 데 6.2m쯤이 길어졌다. 2레인과 3레인을 비교했을 경우의 6.4m와 비교하면 약간 짧아졌지만 어림잡아 거의 같다고 볼 수 있다. 반원의 반지름이 25.5m이든, 26.5m이든, 27.5m이든 반지름을 1m 늘리면 약 6.3m 길어진다고 예상된다. 이를 식으로 알아보자. 반지름이 γ일 때 원의 둘레의 길이는 2πγ, 반지름을 1m 늘렸을 때 반지름은 (γ+1)이므로 원의 둘레의 길이는 2π(γ+1)이다. 따라서 2π(γ+1)-2πγ=2πγ+2π-2πγ=2π(m)이고 2π=6.28318…(m)가 되어 각 레인의 출발점은 약 6.28(m) 정도 차이가 있음을 알 수 있다.
이승민
<재미난 수학세계> 필자인 이승민 선생님은 중앙대 수학과를 졸업한 뒤 서울 보성여고에서 11년 동안 수학교사로 재직했으며 재능방송 제작팀장, 마인드맵 인스트럭터 등을 지냈다.
교육부 디지털교과서 개발위원, 국제수학경시대회(WMC) 출제위원, 배재대 수학과 겸임교수 등을 역임했다. 현재는 화신교육그룹 연구소장을 맡고 있다.
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