이승민의 재미난 수학세계 - 수학의 형식적 언어를 ‘나만의 쉬운 말’로!
수학 공부를 하다 보면 뜻은 어렵지 않은데 서술이 잘 이해 안 될 때가 있다. 수학적인 용어로 쓰여 있어 말이 좀 어렵기 때문일 것이다. 때문에 수학개념이나 공식을 그대로 외우기보다는 좀 더 쉬운 말로, 내가 알 수 있는 평범한 말로 바꿔 공부해 보면 훨씬 수학 공부에 효과적이다.
ｘ에 관한 항등식의 문제를 풀다 보면 “임의의 실수 ｘ에 대하여 ~”라는 문장이 제시된다. “임의”라는 말이 조금 어려운데 “임의”라는 낱말을 국어사전에서 찾아보면 “일정한 기준이나 원칙 없이 하고 싶은 대로 함”이라고 돼 있다. 따라서 “임의“로 하고 싶은 대상은 모두가 될 수 있으므로 “모든 실수 ｘ에 대하여 ~”라고 쓸 수 있고, “어떠한 실수 ｘ에 대하여 ~”라고 할 수도 있으므로 사실 “ｘ의 값에 관계없이~” 일정한 기준이나 원칙 없이 ｘ를 선택할 수 있다. 따라서 “임의의 실수 ｘ에 대하여 ~” “모든 실수 ｘ에 대하여 ~” “어떠한 실수 ｘ에 대하여도 ~” “ｘ의 값에 관계없이 ~”라는 문장은 전부 같은 말로 ｘ에 관한 항등식을 표현한 것이다.
또 하나의 예를 들어보자. 이차부등식에서 “모든 실수 ｘ에 대하여 ａｘ²+ ｂｘ + ｃ ＞ 0 일 조건(단, ａ≠0 )”을 구하는 개념은 학생들이 많이 어려워하는 내용이다. 결론은 ａ＞ 0이고 D(판별식)＜0이다. 과정을 살펴보면 ａｘ²+ ｂｘ + ｃ ＞ 0 에서 좌변의 ａｘ²+ ｂｘ + ｃ을 y라 하면 우변의 0도 y가 된다.
즉 ａｘ²+ ｂｘ + ｃ ＞ 0 ―――――――――――― ―― ∥ ∥ y y
라 하면 y=ａｘ²+ ｂｘ + ｃ가 y=0보다 클 조건을 구하는 것과 같다. 여기서 부등호 “>”의 뜻과 “y=0”의 뜻을 다시 한번 생각해 보자. 부등호 “>”는 “~보다 크다”의 뜻도 있지만 또 다른 의미로 “~위에 있다”라는 뜻이 있고, “y=0”는 다른 말로 곧 “ｘ축”을 뜻한다. 따라서 y=ａｘ²+ ｂｘ + ｃ가 y=0보다 클 조건⇔ y=ａｘ²+ ｂｘ + ｃ가 y=0 위에 있을 조건⇔ y=ａｘ²+ ｂｘ + ｃ가 ｘ축 위에 있을 조건
여기에서 모든 실수 ｘ에 대하여 항상 ｘ축 위에 있어야 한다. 더 쉬운 말로는 항상 ｘ축 위에 부~웅 떠 있어야 한다는 내용이다. <그림 1>은 ｘ축 위에 부~웅 떠 있지 않고 오히려 ｘ축과 만나고 있고 <그림 2>는 ｘ축에 접해 있으며 오직 <그림 3>만 ｘ축 위에 부~웅 떠 있다. 따라서 구하고자 하는 조건에 합당한 것은 <그림 3>이다. 그리고 ｘ축 위에 부~웅 떠 있다. ⇔ ｘ축과 만나지 않는다. ⇔ ｘ축과의 교점이 없다. ⇔ 근이 없다. ⇔ 허근 ⇔ 판별식이 음수 ⇔ D＜0 이다.
이렇게 수학의 형식적인 말을 내가 알고 있는 쉬운 말로 바꾸면서 공부하면 어려운 수학 개념을 내 것으로 만들 수 있다.
이승민
<재미난 수학세계> 필자인 이승민 선생님은 중앙대 수학과를 졸업한 뒤 서울 보성여고에서 11년 동안 수학교사로 재직했으며 재능방송 제작팀장, 마인드맵 인스트럭터 등을 지냈다. 교육부 디지털교과서 개발위원, 국제수학경시대회(WMC) 출제위원, 배재대 수학과 겸임교수 등을 역임했다. 현재는 화신교육그룹 연구소장을 맡고 있다.
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박희성의 맛깔난 잉글리시 - "Please~"…반말을 존대말로 바꾸는 '마법의 단어'
장유유서의 정신이 깃든 한국어에는 높임법이 대단히 발달해 있다. 어미에 ‘~요’를 붙여 표현하는 간단한 존댓말은 물론 상대방의 지위나 나이에 따라 ‘(밥을) 먹다/들다/잡수다’와 같이 단어까지 구별해서 써야 할 정도로 엄격하다. 그러다보니 마치 높임법이 한국어에만 존재하는 특이한 어법이고, 영어에는 높임법이 없다고 착각하는 경우가 있는데, 이는 대단히 큰 오해다. 영어에도 분명히 높임법이 존재하고, 상황이나 상대방에 따라 표현을 가려 써야 하는 경우가 많다.
