이승민의 재미난 수학세계 - 피타고라스의 고민
고대 그리스에는 ‘피타고라스’라는 유명한 수학자 겸 철학자가 살았다. 피타고라스는 수학적으로 많은 업적을 남긴 사람으로 태어난 날과 죽은 날이 정확히 알려지지 않았을 뿐만 아니라 책 한 권도 남기지 않았다고 한다. 알려진 것이라곤 피타고라스가 기원전 569년께 사모스 섬에서 태어났고 기원전 500년께 이탈리아 남단의 크로톤(지금의 크로토나)이라는 곳에서 생을 마감했다는 정도다.
대표적으로 ‘피타고라스의 정리’라는 직각삼각형에서 빗변의 길이와 다른 두 변의 길이 사이의 관계를 나타낸 것으로 유명한 사람이지만 뜻밖에 음악 분야에서도 언급된다. 한 예로 오늘날 우리가 주로 사용하는 서양식 8음계인 ‘도·레·미·파·솔·라·시·도’를 최초로 발견한 사람이 바로 피타고라스다. 피타고라스는 음(音)의 원리에 관해 많은 연구를 하였고, 한 옥타브와 화음의 원리를 발견하였다.
피타고라스가 음계의 수학적 이론을 밝히게 된 계기는 대장간에서 들려오는 망치소리에서 음계가 비례적으로 변화한다는 사실을 알아내고, 조화음의 이론을 생각해내 음의 질서에 대해 최초로 합리적인 접근을 하게 된 것이다. 우리가 음악 시간에 배운 두 소리의 높낮이 차이가 한 옥타브라는 것은 높은 소리가 내는 진동수가 낮은 소리가 내는 진동수의 2배라는 뜻이다.
하지만 피타고라스는 그리 마음이 넓은 사람은 아니었는지 자신이 생각하고 있는 것 이외의 다른 것은 그 누가 잘못되었다고 말해도 잘 인정하지 않는 편이었다. 그 중 하나로 피타고라스는 자신이 모든 수를 알고 있고 이 수들을 이용하면 모든 수학과 세상의 이치를 설명할 수 있다고 믿었다. 하지만 피타고라스가 믿고 있던 이 사실이 무너지는 계기가 있었다.
그것은 바로 누군가가 피타고라스에게 ‘넓이가 2인 정사각형이 있습니까?’라고 질문하면서 시작됐다. 이 질문을 들은 피타고라스는 당연히 넓이가 2인 정사각형은 있다고 대답을 하였다. 하지만 바로 이 답변을 듣고 이어진 질문이 피타고라스의 믿음을 벗어나면서 피타고라스에게 평생 거짓을 말하게 하였다. 이어진 질문은 바로 ‘넓이가 2인 정사각형이 존재한다면 그 정사각형의 한 변의 길이는 몇입니까?’하는 것이었다. 이 질문을 들은 피타고라스는 정사각형의 넓이가 한 변의 길이의 제곱이라는 사실을 이용하여 제곱을 하였을 때 2가 되는 수를 찾으려고 하였지만 자연수나 소수, 분수 등 자신이 알고 있는 수에서는 찾을 수가 없었다. 따라서 본인이 알지 못하는 수가 있다는 것을 알았지만 발견 당시는 물론 본인이 죽을 때까지도 그는 그 사실을 인정하지는 않았다.
이와 같은 피타고라스의 고민은 넓이가 2인 정사각형이 있다고 답변하면서 시작되었다. 하지만 한 변의 길이는 모르는 상태에서 넓이가 2인 정사각형을 어떻게 그릴 수 있었을까? 우선 넓이가 4㎠인 정사각형은 [그림1]과 같은 한 변의 길이가 2㎝인 정사각형이다. [그림1]의 넓이가 4㎠인 정사각형의 각 변의 중심을 연결하면 [그림2]와 같이 작은 정사각형을 그릴 수 있고, 작은 정사각형의 넓이는 4㎠의 절반인 2㎠가 된다. 따라서 넓이가 2㎠인 정사각형은 그릴 수 있었지만 이때 한 변의 길이는 자연수나 소수, 분수 등 자신이 알고 있는 수에서는 찾을 수 없었다.
이승민
<재미난 수학세계> 필자인 이승민 선생님은 중앙대 수학과를 졸업한 뒤 서울 보성여고에서 11년 동안 수학교사로 재직했으며 재능방송 제작팀장, 마인드맵 인스트럭터 등을 지냈다.
교육부 디지털교과서 개발위원, 국제수학경시대회(WMC) 출제위원, 배재대 수학과 겸임교수 등을 역임했다. 현재는 화신교육그룹 연구소장을 맡고 있다.
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박희성의 맛깔난 잉글리시 - 우물 정(井)자를 영어로 하면?
“비밀번호를 입력하신 후 우물 정(井)자를 누르세요.” 전화를 통해 ARS (Audio/Automated Response System) 음성안내를 받다 보면 흔히 듣는 표현이다. 그런데 전화기 숫자판에 있는 #를 영어로는 뭐라고 할까? 한자 ‘우물 정(井)’자가 #와 대단히 비슷하게 생긴 것은 사실이지만, 서양인들이 이런 한자어를 이용해 표현할리 만무하잖은가?
