임양진의 신나는 수학여행 - 어림잡아 추정하기…페르미 추정
“올해도 금강 주변에서는 30여만 마리의 가창오리들이 찾아와 화려한 군무를 보여 주고 있는데요~, 매년 늘어만 가는 ~”
위의 글은 해마다 금강유역을 찾는 가창오리 떼에 대한 신문기사의 일부이다. 그런데 여러분은 이 기사에서 뭔가 이상하다는 생각은 들지 않는가? 이를테면 가창오리 떼의 숫자 말이다. 즉 기사의 내용처럼 금강 가창오리 떼의 수는 정말 30만 마리일까? 그렇다고 한다면 대체 어떻게 셌을까? 사실 위와 같이 어떤 집단의 전체 값(숫자)을 추측하려고 할 때 사용하는 수학적 이론으로는 ‘페르미 추정’이란 것이 있다.
예를 들어 가창오리 떼의 일반적인 1㎡ 공간에 있는 오리의 수를 셌더니 15마리였고, 오리 떼가 분포한 총 면적을 가늠했더니 12만㎡였다고 하자. 그렇다면 여기에서 눈에 보이는 오리의 총 수는 15×12만=18만(마리)이라는 추정이 가능하다. 이렇듯 한 번에 파악하기 힘든 숫자를 어림수로 산출할 때 사용하는 방법이 바로 노벨 물리학상 수상자인 이탈리아의 물리학자 엔리코 페르미가 학생들의 사고력을 측정하기 위해 제시한 문제인 “시카고에 피아노 조율사는 몇 명 있을까?”에서 유래한 ‘페르미 추정법’이다.
당시 모두가 이 문제를 해결하려 했지만, 단순 암기법에 익숙해 있던 상당수의 학생들은 이 문제의 해결에는 접근조차 하지 못했다고 한다. 사실 페르미가 강조한 것은 제한된 시간과 부족한 자료 속에서도 생각의 힘만으로 결과를 알아내는 것이었다. 이 문제에 대해 정답으로 제시된 페르미의 추정 과정은 다음과 같다.
시카고에 약 300만명이 살고 1가구는 평균 3명으로 구성되어 있으므로 시카고에는 100만가구가 산다. 피아노 보유율을 10%로 잡으면 10만가구가 피아노를 갖고 있으며, 1가구당 1대의 피아노를 보유했다면 시카고에는 10만대의 피아노가 있다. 피아노 조율을 1년에 1번 하는 것으로 가정한 후, 피아노 조율사가 이동시간을 포함해 피아노 한 대를 조율하는 데 2시간이 걸린다고 하면, 하루 8시간 일하는 조율사는 하루 4대의 피아노를 조율할 수 있다. 조율사가 주 5일 근무하고 1년에 50주 동안 일한다고 생각하면, 4대×5일×50주=1000이 되어 조율사가 1년 동안 조율하는 피아노는 결국 1000대임을 알 수 있다. 위에서 시카고에는 10만대의 피아노가 있다고 했으므로 결국 조율사의 수는 100명이다.
이렇듯 ‘페르미 추정법’은 많은 오차가 발생할 수 있는 얼렁뚱땅(?)한 방법이지만, 이상하게도 근래에 와서는 곳곳에서 도리어 더 널리 사용되고 있다. 이를테면, 세계에서 하루 동안 소비되는 피자는 몇 판일까? 태평양의 물은 몇 리터일까? 우리나라의 전봇대는 모두 몇 개나 될까? 우리나라 개 사료의 1년 매출액은 어느 정도일까? 지구 밖 은하계에서 생명체를 만날 확률은 얼마일까?
여러분도 느끼다시피 이런 문제들의 답은 고전적인 수학으로는 절대로 풀 수 없지 않은가?
임양진
‘신나는 수학여행’ 집필은 ‘수학나눔연구회’ 소속 서울 대치동 유명 강사들이 맡는다. 수학나눔연구회(회장 최문섭)는 20명의 유명 강사들이 교육기부 및 재능기부를 통해 교육환경이 열악한 학생들의 수학 수준을 향상시키기 위해 노력하는 비영리단체다. 이를 위해 현재 무료 수학 인터넷 강의사이트인 ‘수제비넷(www.sujebi.net)’을 운영하고 있다. 대입설명회, 교육불모지의 방과후수업 강의지원, 중·고교 교재 집필, 각종 온라인 교육업체 출강 등으로 재원을 조달하고 있다. 수학나눔연구회 소속 강사들의 저서로는 『최상위 수학』『최고득점 수학』등이 있다.
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