19세기의 초기 연구는 체외로 발산되는 열량이 체표 면적에 비례한다고 보았다. 즉 그 둘이 항상 일정한 비(比)를 갖는다는 것이다. 체표 면적은 (체중)0.67에 비례하므로, 기초 대사량은 체중이 아닌 (체중)0.67에 비례한다고 하였다. 어떤 변수의 증가율은 증가 후 값을 증가 전 값으로 나눈 값이므로, 체중이 W에서 2W로 커지면 체중의 증가율은 (2W)/(W)＝2이다. 이 경우에 기초 대사량의 증가율은 (2W)0.67/(W)0.67＝20.67, 즉 약 1.6이 된다.
1930년대 클라이버는 생쥐부터 코끼리까지 다양한 크기의 동물의 기초 대사량 측정 결과를 분석했다. (중략) 이렇듯 L-그래프와 같은 방식으로 표현할 때, 생물의 어떤 형질이 체중 또는 몸 크기와 직선의 관계를 보이며 함께 증가하는 경우 그 형질은 ‘상대 성장’을 한다고 한다. 동일 종에서의 심장, 두뇌와 같은 신체 기관의 크기도 상대 성장을 따른다.
한편, 그래프에서 가로축과 세로축 두 변수의 관계를 대변하는 최적의 직선의 기울기와 절편은 최소 제곱법으로 구할 수 있다. 우선, 그래프에 두 변수의 순서쌍을 나타낸 점들 사이를 지나는 임의의 직선을 그린다. 각 점에서 가로축에 수직 방향으로 직선까지의 거리인 편차의 절댓값을 구하고 이들을 각각 제곱하여 모두 합한 것이 ‘편차 제곱 합’이며, 편차 제곱 합이 가장 작은 직선을 구하는 것이 최소 제곱법이다.
클라이버는 이런 방법에 근거하여 L-그래프에 나타난 최적의 직선의 기울기로 0.75를 얻었고, 이에 따라 동물의 (체중)0.75에 기초 대사량이 비례한다고 결론지었다. 이것을 ‘클라이버의 법칙’이라하며, (체중)0.75을 대사 체중이라 부른다.
- 2023학년도 대학수학능력시험 -
기초 대사량은 체중이 아닌 (체중)0.67에 비례… 어떤 변수의 증가율은 증가 후 값을 증가 전 값으로 나눈 값… 체중의 증가율… 기초 대사량의 증가율
일상생활에서 작은 차이는 그냥 넘기지만 과학에서는 조그만 차이도 무시하지 못한다. 그래서 철수 쌤은 과학 관련 글을 읽을 때 그 어느 때보다 내용을 정밀하게 이해하려 애쓴다. 지문에 ‘기초 대사량은 체중이 아닌 (체중)0.67에 비례한다’고 하였다. ‘체중’과 ‘(체중)0.67’이 일상생활에서 무슨 차이가 있겠느냐마는 과학에서는 주목해야 하는 차이일 것이다.
증가량, 증가율 등은 고등학교 이전 수학 시간에 함수를 배우며 접하는 개념이므로 꼭 알고 있어야 한다. 함수는 A의 변화와 B의 변화를 관련짓기 위한 개념이기 때문이다. A가 a에서 b로 변할 때 증가량은 b-a이고, 증가율은 b/a이다. 지문에서는 ‘어떤 변수의 증가율은 증가 후 값을 증가 전 값으로 나눈 값’이라고 하면서 그 사례로 ‘체중이 W에서 2W로 커지면 체중의 증가율은 (2W)/(W)＝2이다’를 제시하고 있다. 나아가 ‘기초 대사량의 증가율은 (2W)0.67/(W)0.67＝20.67’이라는 사례도 제시했다. ‘(2W)/(W)＝2’이 ‘(2W)0.67/(W)0.67＝20.67’로 연결되는 이유는 앞에서 ‘기초 대사량은 … (체중)0.67에 비례한다’고 했기 때문이다. 즉 체중이 W일 때 기초 대사량은 (W)0.67, 체중이 2W일 때 기초 대사량은 (2W)0.67일 것이다. 함수 및 이와 관련한 계산 방식은 고등학교 이전에 배우는 내용이므로, 이 또한 중요한 국어 능력이다.
…이 …와 직선의 관계를 보이며 함께 증가하는 경우… 두 변수의 관계를 대변하는 최적의 직선의 기울기
‘최적’이란 가장 알맞다는 뜻이다. 철수 쌤은 이런 어휘가 보이면 같은 것이 여러 개 있다고 생각하며 이해하는 버릇이 있다. 지문에서 ‘최적의 직선’이라는 말이 나오는데, 여러 개의 직선이 있다는 뜻을 포함하는 것이다. 그리고 이와 관련해 철수 쌤이 학생들에게 이런 문제를 많이 낸다.
‘애국가에 나오는 ‘남산 위에 저 소나무’ 중 가장 큰 소나무는 몇 그루인가?’
답은 ‘한 그루’이지만 꽤 많은 학생이 ‘가장’의 의미를 생각지 못하고 틀린다. 결국 ‘가장’이라는 말을 이해할 때 철수 쌤은 여러 개 중 하나를 생각한다. 원래 지문에 옆의 ‘L-그래프’가 제시됐다. 선(線)의 개념상 그림에는 수없이 많은 직선이 그려져야 하나, 그래프에는 하나의 직선만 그려져 있다. 위의 설명을 잘 이해했다면 그 그래프가 ‘최적의 직선’을 그린 것이라고 이해했을 것이다.
