19세기의 초기 연구는 체외로 발산되는 열량이 체표 면적에 비례한다고 보았다. 즉 그 둘이 항상 일정한 비(比)를 갖는다는 것이다.(중략)
1930년대에 클라이버는 생쥐부터 코끼리까지 다양한 크기의 동물의 기초 대사량 측정 결과를 분석했다. 그래프의 가로축 변수로 동물의 체중을, 세로축 변수로 기초 대사량을 두고, 각 동물별 체중과 기초 대사량의 순서쌍을 점으로 나타냈다.
가로축과 세로축 두 변수의 증가율이 서로 다를 경우, 그 둘의 증가율이 같을 때와 달리, ‘일반적인 그래프’에서 이 점들은 직선이 아닌 어떤 곡선의 주변에 분포한다. 그런데 순서쌍의 값에 상용로그를 취해 새로운 순서쌍을 만들어서 이를 <그림>과 같이 그래프에 표시하면, 어떤 직선의 주변에 점들이 분포하는 것으로 나타난다. 그러면 그 직선의 기울기를 이용해 두 변수의 증가율을 비교할 수 있다. <그림>에서 X와 Y는 각각 체중과 기초 대사량에 상용로그를 취한 값이다. 이런 방식으로 표현한 그래프를 ‘L-그래프’라 하자.
체중의 증가율에 비해, 기초 대사량의 증가율이 작다면 L-그래프에서 직선의 기울기는 1보다 작으며 기초 대사량의 증가율이 작을수록 기울기도 작아진다. 만약 체중의 증가율과 기초 대사량의 증가율이 같다면 L-그래프에서 직선의 기울기는 1이 된다. -2023학년도 대학수학능력시험-
…이 …에 비례… 즉 그 둘이 항상 일정한 비(比)를 갖는다. … 가로축과 세로축 두 변수의 증가율이 서로 다를 경우, 그 둘의 증가율이 같을 때… 점들은 직선… 곡선의 주변에 분포
‘A가 B에 비례한다’는 A가 종속 변수, B가 독립 변수인 함수 관계를 말한다고 했다. 지문에서 ‘열량이 체표 면적에 비례한다’고 했으므로, ‘열량’이 종속 변수, ‘체표 면적’이 독립 변수인 함수를 말한 것이다. 그런데 이것이 ‘즉’으로 ‘그 둘이 항상 일정한 비(比)를 갖는다’와 연결됐다. 그 두 문장이 같은 의미인 것이다. 비례 관계인 함수를 그래프로 그리면 우상향하는 직선이다. 그런데 옆의 점선 그래프는 비례 관계인 직선 그래프처럼 우상향하지만 비례 관계라 하지 않는다. 우상향 그래프를 보이는 함수를 증가 함수라 하는데, 그중 직선 그래프로 그려지는 것을 비례 함수라 하는 것이다.
지문에 비례 관계를 의미하는 말이 또 있다. 바로 지문의 ‘가로축과 세로축 두 변수의 증가율이 … 같을 때’가 그것이다. 그에 비해 ‘증가율이 서로 다른 경우’는 위에서 보이는 점선 그래프들로 나타난다. 그렇다면 ‘점들이 직선…의 주변에 분포’하는 것은 비례 관계를 나타내는 말이지만, ‘곡선의 주변에 분포’하는 것은 비례 관계를 나타내는 말이 아니다. 이것은 우하향하는 감소함수에서도 같은데, 이때 두 변수의 증가율이 같은 경우 반비례 함수라고 한다.
‘일반적인 그래프’… 순서쌍의 값에 상용로그를 취해 새로운 순서쌍을 만들어서 …‘L-그래프’
철수 쌤은 ‘문제 상황-문제의 원인-문제 해결법-해결의 결과’라는 글의 전개를 머릿속에 기억했다가, 이를 적용하며 읽어야 하는 글이 나오면 적극적으로 활용한다고 했다. 지문에서도 ‘‘일반적인 그래프’에서 이 점들은 … 어떤 곡선의 주변에 분포한다’는 이유로 생기는 문제가 있다. 그렇기에 ‘순서쌍의 값에 상용로그를 취해 새로운 순서쌍을 만들어서 … 어떤 직선의 주변에 점들이 분포하’는 ‘L-그래프’를 만들었던 것이다. 그 결과는 ‘두 변수의 증가율을 비교할 수 있다’는 것이다. 이를 다음과 같이 정리할 수 있다.
철수 쌤은 이 부분을 읽을 때 ‘상용로그를 취’하는 방법의 구체적인 내용을 모르고, 알려고도 안 한다. 출제 선생님이 지문 어디에서도 그것에 대해 설명하지 않은 것으로 보아 그에 관한 문제를 내지 않을 것이기 때문이다. 그러나 철수 쌤은 상용로그를 왜 취하는지 알고 있다. 그것은 변수 사이의 관계를 직관적으로 보여주기 위한 것으로, 두 변수의 단위가 다르면 수치로 나타낼 때 표현하기 난감한 경우가 대표적인 사례다. 예컨대 나이는 0~100세인데, 재산은 0에서 수조 원일 경우 그 관계를 나타낼 때 불편할 수 있다. 이때 상용로그를 취하면 큰 수를 작게 만들고, 복잡한 계산을 쉽게 해 직관적으로 이해하는 데 도움이 된다. 지문의 경우에는 두 변수의 증가율을 비교할 수 있는 편리함이 있다. 이렇게 수학적 사고를 하기 때문에 철수 쌤은 지문을 문제 상황과 그 해결법을 말하는 과정을 적용해 읽을 수 있었던 것이다. 상용로그는 현재 고등학교 1학년 때 배우는 내용이라 그것을 제대로 이해한 사람은 철수 쌤처럼 읽을 수 있었을 것이다.
