Euclid made two great innovations. The first is the concept of proof. Euclid refuses to accept any mathematical statement as being true unless it is supported by a sequence of logical steps that deduces it from statements already known to be true. The second innovation recognizes that the proof process must start somewhere, and that these initial statements cannot be proved. So Euclid states up front five basic assumptions on which all his later deductions rest. Four of these are simple and straightforward: two points may be joined by a line; any finite line can be extended; a circle can be drawn with any center and any radius; all right angles are equal. 《Why Beauty is Truth》 중에서 유클리드는 두 가지 큰 혁신을 이뤄냈다.

그중 하나는 바로 증명의 개념이다. 유클리드는 이미 진실이라고 알려진 진술로부터 도출되는 논리적 단계의 순서에 의해 뒷받침되지 않으면 그 어떤 수학적 진술도 진실이라고 받아들이는 것을 거부했다. 두 번째 혁신은 증명의 단계는 어디에서부터인가 시작해야 한다는 것과 이러한 최초 진술은 증명될 수 없다는 것을 인식한 것이다.

그래서 유클리드는 이후 자신의 모든 추론의 근간이 되는 다섯 개의 기본 가정을 명시했다. 그것 중 네 개는 쉽고 간단하다: 두 개의 점은 하나의 선으로 연결될 수 있다; 어떤 유한한 길이의 선도 확장될 수 있다; 원은 그 어떤 중심과 그 어떤 반지름으로도 만들어질 수 있다; 모든 직각은 동일하다.

해설

하나의 동사를 가지고 문장을 완성시키기 위해서는 그 동사가 필요로 하는 언어적 요소가 있는데 이를 논항(argument)이라고 합니다. 예를 들어 read라는 동사가 포함된 문장이 완성되기 위해서는 주어와 목적어가 필요한데, 이때 주어와 목적어를 read의 논항이라고 합니다. 모든 동사는 특정한 형태의 요소를 논항으로 취하는데 동사가 자신을 뒤따르는 논항으로 어떤 요소를 취할지는 동사에 따라 달라집니다. 예를 들어 read의 경우에는 명사구를 논항으로 취하지만 to-부정사는 논항으로 취할 수 없습니다. 하지만 refuse는 명사구와 to-부정사를 모두 논항으로 취할 수 있습니다. 그렇기 때문에 refuse라는 동사를 가지고 Bill refused a second piece of cake라는 문장뿐만 아니라 John refused to answer the question이라는 문장을 만들 수 있습니다. 하지만 refuse는 자신을 뒤따르는 논항으로 동명사를 사용할 수 없습니다. 이 때문에 John refused answering the question이라고 하면 틀린 표현이 되고 맙니다.

이처럼 자신을 뒤따르는 논항으로 to-부정사는 허용하지만 동명사는 허용하지 않는 동사로는 attempt, want, expect, offer, seek, pretend, promise 등이 있습니다. 예를 들어 attempt라는 어휘를 사용해 ‘나는 그 책을 다 훑어보려고 시도했다’는 의미의 문장을 영작하려면 I attempted to go through the book이라고 해야지 to go 대신에 going이라는 동명사 형태를 사용해서는 안 됩니다.

반면 mind, finish, avoid, quit, deny, practice resist 등의 동사는 자신을 뒤따르는 논항으로 동명사는 허용하지만 to-부정사는 허용하지 않습니다. 예를 들어 Jessica practices speaking English whenever she can이라는 문장에서 보다시피 practice 다음에는 동명사가 논항으로 위치합니다. 만약 speaking 대신 to-부정사 형태인 to speak을 사용하면 비문법적인 문장이 됩니다. 이처럼 동사에 따라 자신을 뒤따르는 논항의 형태가 달라질 수 있으므로 동사를 공부할 때 이를 유념해야 합니다.